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更新时间2025-08-06

散点图多项式回归

回归

当您尝试找到变量之间的关系时，会用到术语“回归”（regression）。

在机器学习和统计建模中，这种关系用于预测未来事件的结果。

线性回归

线性回归使用数据点之间的关系在所有数据点之间画一条直线。

这条线可以用来预测未来的值。

在机器学习中，预测未来非常重要。

工作原理

Python 提供了一些方法来查找数据点之间的关系并绘制线性回归线。我们将向您展示如何使用这些方法而不是通过数学公式。

在下面的示例中，x 轴表示车龄，y 轴表示速度。我们已经记录了 13 辆汽车通过收费站时的车龄和速度。让我们看看我们收集的数据是否可以用于线性回归：

实例

首先绘制散点图：

import matplotlib.pyplot as plt

x = [5,7,8,7,2,17,2,9,4,11,12,9,6]
y = [99,86,87,88,111,86,103,87,94,78,77,85,86]

plt.scatter(x, y)
plt.show()

结果：

运行实例

实例

导入 scipy 并绘制线性回归线：

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

x = [5,7,8,7,2,17,2,9,4,11,12,9,6]
y = [99,86,87,88,111,86,103,87,94,78,77,85,86]

slope, intercept, r, p, std_err = stats.linregress(x, y)

def myfunc(x):
  return slope * x + intercept

mymodel = list(map(myfunc, x))

plt.scatter(x, y)
plt.plot(x, mymodel)
plt.show()

结果：

运行实例

例子解释

导入所需模块：

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

创建表示 x 和 y 轴值的数组：

x = [5,7,8,7,2,17,2,9,4,11,12,9,6]
y = [99,86,87,88,111,86,103,87,94,78,77,85,86]

执行一个方法，该方法返回线性回归的一些重要键值：

slope, intercept, r, p, std_err = stats.linregress(x, y)

创建一个使用 slope 和 intercept 值的函数返回新值。这个新值表示相应的 x 值将在 y 轴上放置的位置：

def myfunc(x):
  return slope * x + intercept

通过函数运行 x 数组的每个值。这将产生一个新的数组，其中的 y 轴具有新值：

mymodel = list(map(myfunc, x))

绘制原始散点图：

plt.scatter(x, y)

绘制线性回归线：

plt.plot(x, mymodel)

显示图：

plt.show()

R-Squared

重要的是要知道 x 轴的值和 y 轴的值之间的关系有多好，如果没有关系，则线性回归不能用于预测任何东西。

该关系用一个称为 r 平方（r-squared）的值来度量。

r 平方值的范围是 0 到 1，其中 0 表示不相关，而 1 表示 100％相关。

Python 和 Scipy 模块将为您计算该值，您所要做的就是将 x 和 y 值提供给它：

实例

我的数据在线性回归中的拟合度如何？

from scipy import stats

x = [5,7,8,7,2,17,2,9,4,11,12,9,6]
y = [99,86,87,88,111,86,103,87,94,78,77,85,86]

slope, intercept, r, p, std_err = stats.linregress(x, y)

print(r)

运行实例

注释：结果 -0.76 表明存在某种关系，但不是完美的关系，但它表明我们可以在将来的预测中使用线性回归。

预测未来价值

现在，我们可以使用收集到的信息来预测未来的值。

例如：让我们尝试预测一辆拥有 10 年历史的汽车的速度。

为此，我们需要与上例中相同的 myfunc() 函数：

def myfunc(x):
  return slope * x + intercept

实例

预测一辆有 10年车龄的汽车的速度：

from scipy import stats

x = [5,7,8,7,2,17,2,9,4,11,12,9,6]
y = [99,86,87,88,111,86,103,87,94,78,77,85,86]

slope, intercept, r, p, std_err = stats.linregress(x, y)

def myfunc(x):
  return slope * x + intercept

speed = myfunc(10)

print(speed)

运行实例

该例预测速度为 85.6，我们也可以从图中读取：

糟糕的拟合度？

让我们创建一个实例，其中的线性回归并不是预测未来值的最佳方法。

实例

x 和 y 轴的这些值将导致线性回归的拟合度非常差：

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

x = [89,43,36,36,95,10,66,34,38,20,26,29,48,64,6,5,36,66,72,40]
y = [21,46,3,35,67,95,53,72,58,10,26,34,90,33,38,20,56,2,47,15]

slope, intercept, r, p, std_err = stats.linregress(x, y)

def myfunc(x):
  return slope * x + intercept

mymodel = list(map(myfunc, x))

plt.scatter(x, y)
plt.plot(x, mymodel)
plt.show()

结果：

运行实例

以及 r-squared 值？

实例

您应该得到了一个非常低的 r-squared 值。

import numpy
from scipy import stats

x = [89,43,36,36,95,10,66,34,38,20,26,29,48,64,6,5,36,66,72,40]
y = [21,46,3,35,67,95,53,72,58,10,26,34,90,33,38,20,56,2,47,15]

slope, intercept, r, p, std_err = stats.linregress(x, y)

print(r)

运行实例

结果：0.013 表示关系很差，并告诉我们该数据集不适合线性回归。

散点图多项式回归

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