0! = 1，这是基于递归定义（由1! = 1 × 0! 推出）、空积约定（无因子乘积为1）、组合意义（空集排列数为1）及伽玛函数延拓（Γ(1) = 1）共同确立的数学约定。

如果在学习阶乘定义或进行组合数学、幂级数展开等运算时遇到“0!”这一表达式，其数值结果并非由连乘过程直接得出，而是基于数学一致性和递归结构所确立的约定。以下是关于零的阶乘的几种理解路径与计算依据：

一、基于递归定义的推导

阶乘函数可递归定义为：0! = 1，且当 n > 0 时，n! = n × (n−1)!。该定义要求基础情形必须明确，否则递归无法启动。若设 1! = 1，则代入递归式得：1! = 1 × 0! ⇒ 1 = 1 × 0! ⇒ 0! 必须等于 1，才能使等式成立。

1、写出递归关系式：n! = n × (n−1)!（n ≥ 1）。

2、代入 n = 1：1! = 1 × 0!。

3、已知 1! = 1，因此 1 = 1 × 0!。

4、两边同时除以 1，得到 0! = 1。

二、基于空积约定的解释

在代数中，一个不含任何因子的乘积称为“空积”，其值被统一规定为乘法单位元，即 1。因为阶乘 n! 表示从 1 到 n 所有正整数的乘积，当 n = 0 时，区间 [1, 0] 为空集，对应乘积无任何项参与，故 0! 被定义为空积，其值为 1。

1、确认乘积定义域：n! = ∏_k=1ⁿ k。

2、当 n = 0 时，上标小于下标，乘积范围为空。

3、依据空积公理，∏_k∈∅ k = 1。

4、由此直接得出 0! = 1。

三、基于组合意义的验证

阶乘常用于排列数计算，例如 n 个不同元素的全排列数为 n!。而 0 个元素的集合只存在一种排列方式——即“不作任何操作”的唯一状态。因此，从组合语义出发，0 个元素的排列数应为 1，故 0! = 1。

1、考虑集合 ∅（空集），其元素个数为 0。

2、空集的排列是指对其元素的所有可能顺序安排。

3、由于无元素可变动，仅存在一种排列方式（恒等排列）。

4、因此排列数 P(0) = 1，而 P(n) = n!，故 0! = 1。

四、基于伽玛函数的延拓

阶乘可视为伽玛函数在非负整数点的取值：n! = Γ(n+1)。伽玛函数满足 Γ(1) = 1，而 0! 对应 Γ(1)，因此 0! = Γ(1) = 1。该延拓不仅保持连续性，也与实积分定义完全一致。

1、回忆伽玛函数定义：Γ(z) = ∫₀^∞ t^z−1e^−t dt（Re(z) > 0）。

2、代入 z = 1：Γ(1) = ∫₀^∞ e^−t dt = 1。

3、因 n! = Γ(n+1)，令 n = 0 得 0! = Γ(1)。

4、故 0! = 1。