無向圖最小割問題新突破，Google研究獲SODA 2024最佳論文獎

Блог Google опубликовал новое исследование, направленное на решение проблемы минимального сечения неориентированных графов.

###################В Задача минимального разреза» Удивительно случайный алгоритм Алгоритм Каргера очень важен в теоретической информатике и особенно подходит для решения приблизительных задач минимального разреза на крупномасштабных графах. ###############Алгоритм Каргера может найти минимальную точку разреза на графике за время O (m log^3n). Они называют это время почти линейным временем, что означает линейное умножение на a. полилогарифмический коэффициент. ###############В блоге, только что обновленном Google, они представили ранее опубликованную статью «Детерминистическое почти линейное минимальное сокращение времени во взвешенных графах», и в результате исследования были получены результаты ACM-SIAM SODA24. Награда за лучшую бумагу. В статье подробно описан новый алгоритм, который работает почти за линейное время (а не за почти линейное). Этот алгоритм является детерминированным и может надежно находить правильный минимальный разрез. Он улучшает предыдущий алгоритм, который не может быть гарантированно корректным или единственно применимым. к Алгоритмы для простых графов. Возможно, это самое большое открытие со времен знаменитого алгоритма рандомизации Каргера. #####################Адрес бумаги: https://arxiv.org/pdf/2401.05627.pdf############Paper Название: Детерминированный почти линейный минимальный разрез по времени во взвешенных графах##################### Примечание. Задача минимального разреза (часто называемая минимальным разрезом) связана с связностью графа. основной структурный вопрос, который обычно фокусируется на том, какой самый простой способ отключить сеть? В теории графов набор ребер, которые могут сделать граф сетевого потока более несвязным (то есть разделить его на два подграфа) путем удаления всех ребер, называется разрезом графа, а наименьший разрез графа называется разрезом. минимальный разрез. ################### Минимальный разрез графика (содержащий два ребра). #######################Введение в метод################### Что касается задачи минимального разреза, Каргер В 1996 году он впервые разработал случайный алгоритм с почти линейным временем, который может найти минимальный разрез с высокой вероятностью. Эта работа также дала ключевое понимание того, что существует меньший граф, который в значительной степени сохраняется. ###############Этот вывод полезен, поскольку более медленные алгоритмы можно запускать, используя в качестве входных данных меньшие графики, а более медленное время работы (для меньших по размеру графов) все равно может быть близким к линейному. с размером исходного (большого) графика. #####################На самом деле, многие структурные открытия по проблеме минимального разреза сделаны именно в этом направлении. ###############Google делает это, начиная с графа G с n узлами, а затем на основе статьи «Схемы рандомизированной аппроксимации для разрезов и потоков в емкостных графах» (автор Бензур Метод разреженности с сохранением разрезов, предложенный Каргером, доказал, что можно построить разреженный взвешенный граф G' с меньшим количеством ребер, и на этом графе размер почти всех разрезов примерно такой же, как размер соответствующих разрезов в исходный граф Г. ###############Эту концепцию можно проиллюстрировать следующим примером: исходный граф состоит из двух полных графов, соединенных одним ребром, в то время как разреженный граф имеет меньше ребер, но ребра утяжелены сильнее, при этом размеры всех отрубов примерно сохраняются. ############

為了建構這種較稀疏的圖，Benzur 和 Karger 採用了獨立採樣邊的方法。在這種方法中，圖G 中的每條邊都有一定機率被包含在圖G' 中，並且其在G' 中的權重會根據取樣機率的倒數進行放大（例如，如果一條原權重為1的邊以10% 的機率被包含，則其權重調整為10）。結果表明，這種非常簡單（幾乎是線性時間）的方法具有很高的成功機率，可以建立出保持割的圖稀疏化。

然而，Karger 演算法是一種蒙特卡羅演算法，即輸出可能小機率不正確，並且除了與實際已知的最小割進行比較之外，沒有已知的方法可以判斷輸出是否正確。

因此，研究人員一直在努力探索解決近線性時間確定性演算法開放性問題的方法。由於 cut-preserving 圖稀疏化的構造是 Karger 演算法中唯一隨機的組成部分，因此一種方法是在近線性時間內找到稀疏化的確定性構造（也稱為去隨機化）。

2015 年，Kawarabayashi 和Thorup 實現了一個重要的里程碑—— 找到針對簡單圖（即每對節點之間至多有一條邊且所有邊權重等於1的圖）的確定性近線性時間演算法。

該研究得出一個關鍵思路，即最小割和另一個重要的圖結構（稱為「low-conductance cut」）之間存在一些聯繫。這種聯繫對於後來在一般邊權重圖上去隨機化 Karger 演算法至關重要，並幫助Google得出了新演算法。

最小割和low-conductance cut 的對齊

圖割S 的conductance定義為S 的cut 大小與S 的volume 之比（假設S 是切口的較小體積側且非空），其中S 的volume 是S 中節點的度數。

low-conductance 的 cut S 直觀地捕獲了網路中的瓶頸，因為只有少量邊（相對於其 volume）將 S 連接到圖的其餘部分。圖的 conductance 被定義為圖中任何 cut 的最小 conductance，並且大 conductance 的圖（也稱為擴展圖）被認為是良好連接的，因為內部沒有瓶頸。

                              ^{紅色虛線表示cut 大小為2，較小的一側（底部）volume 為24，也是圖的conductance。}

Kawayabarashi 和Thorup 觀察到，在最小節點度數較大的簡單圖中，任何非平凡（即兩側至少有兩個節點）最小割都必須有low conductance。根據這個觀察，如果可以將圖劃分為連接良好的簇（cluster），則劃分必須與每個非平凡最小割一致，因為每個簇必須完全位於每個 cut 的一側。然後，將每個簇收縮為節點，並處理較小的圖，其中原始圖的所有非平凡最小割都完好無損。

然而，對於加權圖，上述觀察不再成立，簡單圖情況中使用的相同分割可能與非平凡最小割不完全一致。

如下圖所示，Jason Li 2021 年觀察到，這種劃分仍然與非平凡最小割大致一致。特別地，對於非平凡最小割 S，存在與 S 相差不大的 cut S'，使得 S' 與簇一致。 Jason Li 進一步觀察到，可以利用劃分的這種特性來有效地去隨機化 cut-preserving 圖稀疏化的構造。

Google設計的新演算法旨在建立一種劃分，來制定最小割的用例。與 Jason Li 在先前的工作中使用的更通用的現成方法相比，Google的這項研究更加精確、更快捷。新研究在保證精度的同時在運行時間上也進行了最佳化，最終實現了針對最小割問題的近線性時間確定性演算法。

^{參考連結：https://research.google/blog/solving-the-minimum-cut-problem-for-undirected-graphs/}

#

以上是無向圖最小割問題新突破，Google研究獲SODA 2024最佳論文獎的詳細內容。更多資訊請關注PHP中文網其他相關文章！