克雷研究所100萬美元獎金要歸AI了數學界規則大改，未來數學家如何應對「海量猜想」

在數學的世界裡，想要對「一個未經證實的猜想」進行完整的證明，往往需要天賦、直覺和經驗的結合，即使是數學家也很難解釋自己的發現過程。

然而，隨著近年來大模型的崛起，我們共同見證了一種新的變革力量，AI不僅在預測橢圓曲線的複雜度上超越了人類，還在探索基本常數的新公式上取得了突破。

最近，倫敦數學科學研究所所長 Thomas Fink（Thomas Fink）在Nature的world view專欄發表了一篇文章，探討了AI如何在數學領域中發揮其獨特的作用，以及如何幫助數學家從猜想走向證明。在這篇文章中，芬克提到了AI在數學推理和證明中的潛力，以及它對數學領域的進展所帶來的影響。 芬克指出，AI可以透過對大量數學問題的分析和推理，發現隱藏在其中的模式和規律。例如，透過機器學習演算法，AI可以從數百萬個數學問題中學

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文章連結：https: //www.nature.com/articles/d41586-024-01413-w

數學資料的豐富性和獨特性為AI的訓練提供了肥沃的土壤：從素數到結理論，AI正在幫助我們發現數學對象之間的新聯繫。

例如，透過線上整數序列百科全書(OEIS)，可以利用AI工具搜尋近375,000個序列，尋找那些意想不到的關係，文中揭示了AI如何在數學資料的海洋中航行，發現那些人類尚未觸及的寶藏。

不過，雖然AI在數學領域的應用前景廣闊，但它並非萬能。

正如G. H. Hardy在其1940年的論文《一個數學家的辯護》（A Mathematician's Apology）中所言，一個好的定理應當是構成諸多數學結構的組成部分。

AI可以幫助我們發現模式和形成猜想，但區分這些猜想的重要性則需要數學家的直覺和對領域發展的深刻理解。

作者探討了AI如何作為數學家創造力的催化劑，而非替代品，二者可以共同推動、擴展數學的邊界。

托馬斯·芬克 (Thomas Fink) 是倫敦數學科學研究所的研究員，該研究所是一家從事物理和數學研究的非營利組織。他正在與 BHI 合作研究可修復性和重組創新等主題，其研究興趣主要包括離散動力學、複雜網絡和生物學基本定律。

數學+AI

在2017年，倫敦數學科學研究所的研究人員，其中包括我，身為所長，開始將機器學習技術作為一種探索嘗試應用於數學資料分析，也標誌著人工智慧（AI）開始在數學領域的應用展開初步探索。

在COVID-19大流行期間，我們取得了一個意外的發現：簡單的AI分類器能夠預測橢圓曲線的秩（衡量橢圓曲線複雜性的一種方式） 。

橢圓曲線是數論的基礎，克雷數學研究所曾經在千禧年選出了七大數學難題，並為每個問題提供了100萬美元的獎金，預測橢圓曲線就是解決這些問題的關鍵步驟，但在當時幾乎沒人看好AI能在數學領域發揮作用。

2021年，研究人員設計的拉馬努金機為基本常數產生了新的公式，例如π 和e，模型透過詳盡地搜尋連分數族（families of continued fractions）來實現該演算法，其中連分數是一種特殊的分數表示法，由無限多個分數層疊構成，每個分數的分母本身也是一個分數，形成了一個分母鏈。

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論文連結：https://www.nature.com/articles/s41586-021-03229-4

拉馬努金機產生的一些公式已經被數學家證明是正確的，為數學領域增添了新的知識點，但並非所有的公式都得到了證明，有些公式仍然是數學界面臨的未解決問題，等待著未來的數學家和AI技術去探索和解決。

結理論（knot theory）是拓樸學的一個領域，主要研究的是線條或繩子在空間中如何被扭曲和打結。在這個領域中，我們通常會考慮一個理想化的繩子，它在兩端被黏接起來，形成一個封閉的環。

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最近，GoogleDeepMind的研究人員利用神經網路技術，對各種不同的結進行了數據分析，透過訓練神經網路來識別和理解結的模式。

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論文連結：https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x

最令人驚訝的是，模型發現了結的代數性質和幾何形狀之間存在著一種先前尚不了解的聯繫，也就意味著，透過數學的代數和幾何方法，我們能夠更深入地理解結的結構及其性質，對於數學和物理學等領域的研究具有重要意義。

AI對數學領域的影響

數學是一門精確的科學，不接受任何偶然性（concidence），與現實世界中的實驗不同，數學中的一個反例就足以推翻一個猜想。

例如，Pólya猜想曾認為，任何給定整數以下的大多數整數都有奇數個質因數，但這個猜想在1960年被證明是錯誤的，因為數字906,180,359並不滿足這個條件，只需一個反例就被證偽了。

除此之外，數學領域的資料取得成本相對較低，因為數學物件如質數和結等是普遍存在的，例如，線上整數序列百科全書（OEIS）就收錄了近375,000個序列，從廣為人知的斐波那契序列到增長速度極快的Busy Beaver序列，科學家們已經開始使用機器學習工具來搜尋OEIS資料庫，尋找新的數學關係。

人工智慧也可以幫助我們發現數學中的模式，並提出新的猜想。

但並非所有的猜想都同等重要，一個好的猜想應該能夠推動我們對數學的理解，幫助我們建立更多的數學結構，並在證明不同類型的定理中發揮作用。

然而，要區分哪些猜想更有價值，需要對數學領域本身的發展有深刻的直覺和理解，對數學發展大局的把握，對於人工智慧來說，可能在很長一段時間內都是難以實現的。

因此，儘管人工智慧可以幫助我們發現模式和猜想，但在識別哪些猜想真正重要方面，它可能還有很長的路要走。

儘管對人工智慧在數學領域應用的擔憂存在，但AI的引入無疑為數學界帶來了積極的影響，不僅能為數學研究提供關鍵的優勢，還能開闢新的研究途徑，激發創新思維。

數學期刊應當增加數學猜想的發表量。歷史上，許多重大的數學問題，如費馬的最後定理、黎曼猜想等，以及許多不太為人所知的猜想，都極大地推動了數學領域的發展，這些猜想通過為研究者提供正確的研究方向，加速了數學研究的進程。

因此，發表有關猜想的期刊文章，尤其是那些有數據支持或啟發性論證的文章，對於推動科學發現具有重要意義。

以GoogleDeepMind的研究為例，去年他們預測了220萬種可能的新型晶體結構，但這些新材料的穩定性、合成可能性以及實際應用價值仍有待進一步的驗證和研究，目前該工作也主要依賴人類研究人員的專業知識和對材料科學廣泛背景的理解。

此外，數學家的想像和直覺對於理解和解釋AI工具產生的結果至關重要。

AI在這過程中扮演的是促進和激發人類創造力的作用，而不是取代人類，它更像是一個工具，幫助數學家們更快地探索未知領域，發現新的數學真理。

參考資料：

https://www.nature.com/articles/d41586-024-01413-w

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