정규 방정식을 사용하여 선형 회귀를 구현하기 위한 방법 및 전제 조건

정규 방정식은 선형 회귀를 위한 간단하고 직관적인 방법입니다. 반복적인 알고리즘을 사용하지 않고 수학 공식을 통해 직접 가장 적합한 직선을 계산합니다. 이 방법은 특히 작은 데이터 세트에 적합합니다.

먼저 선형 회귀의 기본 원리를 살펴보겠습니다. 선형 회귀는 종속 변수 Y와 하나 이상의 독립 변수 X 간의 관계를 예측하는 데 사용되는 방법입니다. 단순선형회귀는 독립변수 X가 하나뿐인 반면, 다중선형회귀는 독립변수가 2개 이상 포함된다.

선형 회귀에서는 최소 제곱법을 사용하여 직선을 피팅하여 데이터 포인트에서 직선까지의 거리의 합을 최소화합니다. 직선의 방정식은 다음과 같습니다.

Y=β0+β1X1+β2X2+…+βnXn

방정식의 목표는 데이터에 가장 잘 맞도록 최적의 절편 및 회귀 계수를 찾는 것입니다.

이제 정규 방정식을 사용하여 최적의 β0~βn을 계산하는 방법을 살펴보겠습니다. 정규 방정식의 기본 아이디어는 선형 방정식 시스템을 풀어 최적의 회귀 계수를 얻을 수 있다는 것입니다.

이 선형 방정식 시스템의 형식은 다음과 같습니다.

(XT , β는 회귀 계수의 벡터입니다. 이 방정식 시스템에서는 β를 풀어야 합니다.

다음으로, 이 연립방정식을 풀 수 있는 형태로 변환해야 합니다. 우리는 방정식 시스템의 양쪽에 (XT)의 역행렬을 곱하여 이 단계를 수행할 수 있습니다. 이렇게 해서 연립방정식은 정규화됩니다. 방정식의 핵심 아이디어는 선형 연립방정식을 풀어 최적의 회귀계수를 구하는 것입니다. 이 방정식 시스템의 형식은 (XT X)β=XT Y입니다. 여기서 X는 독립 변수의 행렬이고 Y는 종속 변수의 벡터이며 XT는 다음의 전치입니다. 방정식 시스템의 양변에 (XT)의 역행렬을 곱하여 β를 풀 수 있습니다. 이 방법은 매우 간단하고 이해하기 쉬우며 작은 데이터 세트에 적합합니다. 그러나 정규 방정식의 계산 복잡도는 O(n^3)이므로 대규모 데이터 세트를 처리할 때는 이 방법이 적합하지 않을 수 있습니다.

정규방정식의 장점은 반복 알고리즘을 사용하지 않고도 최적의 회귀계수를 직접 계산할 수 있다는 점입니다. 또한 이 방법의 해법은 독특하므로 여러 지역 최적해의 문제가 없습니다.

그러나 정규 방정식에도 몇 가지 단점이 있습니다. 첫째, (XT의 역행렬을 계산해야 합니다. 행렬(XT 또한 계산 복잡도가 O(n^3)인 정규 방정식은 대규모 데이터 세트를 처리할 때 매우 느려질 수 있으므로 이 경우에는 반복 알고리즘이 더 적합할 수 있습니다.

선형 회귀에 정규 방정식을 사용하는 경우 다음 조건을 충족해야 합니다.

1. 선형 관계

정규 방정식은 선형 관계가 있는 데이터에만 적용 가능합니다. 종속변수와 독립변수 관계는 선형이어야 합니다. 데이터가 선형 관계를 만족하지 않으면 정규 방정식은 좋은 피팅 모델을 얻을 수 없습니다.

2. 다중 공선성 없음

다중 공선성은 독립 변수 간의 상관 관계가 높은 상황을 의미합니다. 다중 공선성이 있는 경우 정규 방정식으로 정확한 피팅 모델이 생성되지 않을 수 있습니다. 실제 응용에서는 독립변수 간의 상관계수를 계산하여 다중공선성을 확인할 수 있습니다.

3. 데이터 독립성

정규 방정식에서는 데이터가 독립적이어야 합니다. 즉, 각 샘플 간의 데이터 간에 상관 관계가 없어야 합니다. 데이터가 독립적이지 않으면 정규 방정식이 편향된 모델 적합을 생성할 수 있습니다.

4. 분산의 동질성

분산의 동질성은 종속변수의 분산이 독립변수의 서로 다른 값에서 동일하게 유지되어야 함을 의미합니다. 분산이 동일하지 않으면 정규 방정식으로 인해 모형이 부정확하게 맞춰질 수 있습니다. 실제 적용에서는 잔차를 플로팅하여 분산의 동질성을 확인할 수 있습니다.

5. 오류는 정규 분포를 따릅니다

정규 방정식에서는 오류가 정규 분포를 따라야 합니다. 즉, 잔차가 무작위여야 하며 정규 분포의 특성을 준수해야 합니다. 오류가 정규 분포를 따르지 않으면 정규 방정식으로 인해 모델이 부정확하게 맞춰질 수 있습니다.

위의 조건은 서로 독립적이지 않으며 서로 영향을 미칠 수 있다는 점에 유의해야 합니다. 실제 적용에서는 이러한 조건을 종합적으로 고려하고 데이터의 특성에 따라 적절한 회귀 모델을 선택해야 합니다. 데이터가 정규 방정식의 조건을 충족하지 않는 경우 능선 회귀, 올가미 회귀 등 다른 회귀 방법을 사용하는 것을 고려할 수 있습니다.

정리하면 정규방정식은 소규모 데이터 세트에 적합한 간단하고 이해하기 쉬운 선형 회귀 방법입니다. 그러나 대규모 데이터 세트를 처리할 때는 계산 복잡성 문제에 주의를 기울이고 다른 방법 사용을 고려해야 합니다.

위 내용은 정규 방정식을 사용하여 선형 회귀를 구현하기 위한 방법 및 전제 조건의 상세 내용입니다. 자세한 내용은 PHP 중국어 웹사이트의 기타 관련 기사를 참조하세요!