물리적 정보를 기반으로 하는 신경망 소개

PINN(Physics Information Based Neural Network)은 물리적 모델과 신경망을 결합한 방법입니다. PINN은 물리적 방법을 신경망에 통합함으로써 비선형 시스템의 동적 동작을 학습할 수 있습니다. PINN은 기존의 물리적 모델 기반 방법에 비해 유연성과 확장성이 더 높습니다. 물리적 사양의 요구 사항을 충족하면서 복잡한 비선형 동적 시스템을 적응적으로 학습할 수 있습니다. 이 기사에서는 PINN의 기본 원리를 소개하고 몇 가지 실제 적용 사례를 제공합니다.

PINN의 기본 원리는 물리적 방법을 신경망에 통합하여 시스템의 동적 동작을 학습하는 것입니다. 구체적으로 물리적 방법을 다음과 같은 형식으로 표현할 수 있습니다.

F(u(x),frac{partial u}{partial x},x,t)=0

우리의 목표는 Learn에 합격하는 것입니다. 시스템 상태 변화 u(x)의 시간 변화와 시스템 주변의 경계 조건을 통해 시스템 동작을 이해합니다. 이 목표를 달성하기 위해 신경망을 사용하여 상태 변화 u(x)의 전개를 시뮬레이션하고 자동 미분 기술을 사용하여 상태 변화의 기울기를 계산할 수 있습니다. 동시에 물리적 방법을 사용하여 신경망과 상태 변경 간의 관계를 제한할 수도 있습니다. 이러한 방식으로 우리는 시스템의 상태 진화를 더 잘 이해하고 향후 변화를 예측할 수 있습니다.

특히 다음 손실 함수를 사용하여 PINN을 훈련할 수 있습니다.

L_{pinn}=L_{data}+L_{physics}

여기서 L_{data}는 데이터 손실입니다. 알려진 상태 변경 값을 시뮬레이션합니다. 일반적으로 L_{data}를 명확하게 정의하기 위해 평균 제곱 오차를 사용할 수 있습니다.

L_{data}=frac{1}{N}sum_{i=1}^{N}(u_i-u_{data, i })^2

여기서 $N$은 데이터 세트의 샘플 수, u_i는 신경망이 예측한 상태 변화 값, u_{data,i}는 해당 실제 상태 변화 값입니다. 데이터 세트.

L_{physics}는 물리적 제약 손실로, 신경망과 상태 변화가 물리적 방법을 만족하는지 확인하는 데 사용됩니다. 일반적으로 L_{physics}를 명확하게 정의하기 위해 잔차 수를 사용할 수 있습니다.

L_{physics}=frac{1}{N}sum_{i=1}^{N}(F(u_i,frac{ 부분 u_i}{부분 x},x_i,t_i))^2

여기서 F는 물리적 방법이고, frac{부분 u_i}{부분 x}는 신경망에서 예측한 상태 변화의 기울기, x_i 및 t_i는 i의 공간 및 시간 좌표와 유사합니다.

L_{pinn}을 최소화함으로써 데이터를 시뮬레이션하는 동시에 물리적 방법을 만족시켜 시스템의 동적 동작을 학습할 수 있습니다.

이제 현실적인 PINN 데모를 살펴보겠습니다. 대표적인 예는 Navier-Stokes 방법의 동적 동작을 학습하는 것입니다. Navier-Stokes 방법은 유체의 운동 거동을 설명하며 다음 형식으로 작성할 수 있습니다.

rho(frac{partial u}{partial t}+ucdotnabla u)=-nabla p+munabla^2u+ f

여기서 rho는 유체의 밀도, u는 유체의 속도, p는 유체의 압력, mu는 유체의 밀도, f는 외력입니다. 우리의 목표는 유체의 속도와 압력의 시간 변화뿐만 아니라 유체 경계의 경계 조건을 배우는 것입니다.

이 목표를 달성하기 위해 Navier-Stokes 방법을 신경망에 채워 학습 속도와 압력의 시간 변화를 촉진할 수 있습니다. 구체적으로 다음 손실을 사용하여 PINN을 훈련할 수 있습니다.

L_{pinn}=L_{data}+L_{physics}

여기서 L_{data} 및 L_{physics}의 정의는 이전과 동일 . 유체 역학 모델을 사용하여 속도와 압력을 포함한 일련의 상태 변수 데이터를 생성한 다음 PINN을 사용하여 상태 변화를 시뮬레이션하고 Navier-Stokes 방법을 충족할 수 있습니다. 이러한 방식으로 우리는 복잡한 물리적 모델을 먼저 결정하거나 수동으로 해석을 도출하지 않고도 습윤 흐름, 와류, 경계층과 같은 현상을 포함한 유체의 동적 거동을 학습할 수 있습니다.

또 다른 예는 비선형 파동 방법의 운동학적 동작을 학습하는 것입니다. 비선형 파동 방법은 서문에서 파동의 전파 거동을 설명하며 다음과 같은 형식으로 작성할 수 있습니다.

frac{partial^2u}{partial t^2}-c^2nabla^2u+f( u) =0

여기서 u는 파동 속도의 진폭, c는 파동 속도, f(u)는 비선형 품질 항목입니다. 우리의 목표는 입문 경계에서 파동 역학 및 경계 조건의 시간 변화를 배우는 것입니다.

이 목표를 달성하기 위해 비선형 파동 프로세스를 신경망에 통합하여 파동 운동의 획기적인 진화에 대한 학습을 ​​촉진할 수 있습니다. 구체적으로 다음 손상 수치를 사용하여 PINN을 훈련할 수 있습니다.

L_{pinn}=L_{data}+L_{physics}

여기서 L_{data} 및 L_{physics}는 다음과 같이 정의됩니다. 위에. 수치적 방법을 사용하여 진폭과 단계를 포함하는 상태 변화 데이터 세트를 생성한 다음 PINN을 사용하여 상태 변화를 시뮬레이션하고 비선형 파동 방법을 충족할 수 있습니다. 이러한 방식으로 복잡한 물리적 모델을 정의하거나 수동으로 분석을 도출하지 않고도 파동 패킷의 모양 변화, 굴절 및 반사와 같은 현상을 포함하여 매질에서 파동의 시간 변화를 학습할 수 있습니다.

간단히 말하면, 물리적 정보 기반 신경망은 물리적 모델과 신경망을 결합한 방식으로, 물리적 법칙의 엄격한 만족을 유지하면서 복잡한 비선형 동적 시스템에 대한 지구 학습에 적응할 수 있습니다. PINN은 유체역학, 음향학, 구조역학 및 기타 분야에서 널리 사용되어 왔으며 몇 가지 놀라운 결과를 얻었습니다. 앞으로 신경망과 자동화된 미분 기술의 지속적인 개발을 통해 PINN은 다양한 비선형 역학 문제를 해결하기 위한 더 크고 강력하며 다재다능한 도구가 될 것입니다.

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