スパースコーディングに基づくモデルとアルゴリズム

スパース表現はデータ表現と次元削減のための方法であり、コンピューター ビジョン、自然言語処理、信号処理などの分野で広く使用されています。この記事では、スパース コーディング、辞書学習、スパース オートエンコーダーなど、スパース表現に基づくモデルとアルゴリズムを紹介します。スパース表現により、データの重要な特徴を効果的にキャプチャし、効率的なデータ処理と分析を実現できます。スパース表現の原理は、データのスパース表現係数を最小限に抑えることでデータ圧縮と次元削減を実現することです。スパース表現では、スパース コーディングと辞書学習が一般的に使用されます。線形 この変換方法は、元のデータを一連のスパース係数の線形結合として表します。ベクトル x のセットがあり、基底ベクトル D のセットの線形結合で x を表したいとします。つまり、x=Dz (z は係数ベクトル) とします。 z をできるだけ疎にするために、z の L1 ノルムを最小化する L1 正則化項を導入できます。この最適化問題は次の形式で表現できます:

min||x-Dz||^2 λ||z||_1

この問題は、座標降下法や勾配降下法などの反復解法を使用して解決できます。ここで、||.|| はベクトル ノルムを表し、λ は正則化パラメータです。

2. 辞書学習

辞書学習は、一連の基底ベクトルを学習することによってデータを表現することを目的とした教師なし学習方法です。スパースコーディングとは異なり、辞書学習では係数ベクトル z がスパースである必要があるだけでなく、辞書 D 自体が一定のスパース性を持っていることも必要です。辞書学習の問題は、次の最適化問題として表現できます:

min||X-DZ||^2 λ||Z||_1 γ||D||_1

ここで、X はデータ行列、Z は係数行列、λ と γ は正則化パラメータです。この問題は、交互方向乗算法、つまり辞書 D と係数行列 Z を交互に更新することで解決できます。このうち、K-SVD アルゴリズムは辞書 D の更新に使用でき、係数行列 Z のスパース性を維持しながら各基底ベクトルを繰り返し更新することで辞書 D を最適化します。

3. スパース オートエンコーダー

スパース オートエンコーダーは、オートエンコーダーを使用してデータのスパース表現を学習するニューラル ネットワーク ベースの手法です。オートエンコーダはエンコーダとデコーダで構成され、エンコーダは入力データ x を隠れベクトル h にマップし、デコーダは隠れベクトル h を再構成データ x' にマップし直します。スパース オートエンコーダは、エンコーダにスパース制約を追加します。つまり、隠れベクトル h の L1 ノルムを最小化し、それによって隠れベクトル h がスパースになります。具体的には、スパース オートエンコーダの最適化問題は次のように表すことができます:

#min||x-x'||^2 λ||h||_1

ここで、x' は再構成されたデータ、λ は正則化パラメータです。この問題は、バックプロパゲーション アルゴリズムを使用して解決できます。エンコーダにスパース制約を追加する場合、スパース ペナルティ項を追加することで解決できます。

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