判断函数单射需证x₁≠x₂⇒f(x₁)≠f(x₂)，常用反证法或直接推导；满射需证∀y∈到达域，∃x∈定义域使f(x)=y，核心是解f(x)=y并验x∈定义域。

如果需要判断一个函数是否为单射或满射，必须依据其定义严格验证。以下是针对单射与满射分别进行证明的标准步骤：

一、证明函数是单射

单射要求：函数中任意两个不同自变量的像必须不同，即若 x₁ ≠ x₂，则必有 f(x₁) ≠ f(x₂)。常用反证法或直接推导法验证该逻辑关系。

1、假设存在 x₁, x₂ ∈ 定义域 且 x₁ ≠ x₂。

2、计算 f(x₁) 与 f(x₂) 的表达式。

3、令 f(x₁) = f(x₂)，解此等式。

4、若由此可推出 x₁ = x₂，则原假设不成立，函数为单射。

二、通过反证法证明单射

当直接推导困难时，可采用反证法：先假定函数不是单射，再导出矛盾。该方法对含绝对值、分段或抽象函数尤为有效。

1、假设存在 a ≠ b，但 f(a) = f(b)。

2、将 a 和 b 代入函数表达式，列出等式。

3、化简该等式，分析是否与已知条件（如定义域限制、参数范围）冲突。

4、若得出 a = b 或其他明显矛盾结论，则原假设错误，函数为单射。

三、证明函数是满射

满射要求：函数的值域等于其到达域（陪域），即对任意 y ∈ 到达域，都存在至少一个 x ∈ 定义域 使得 f(x) = y。核心是解方程并验证解是否落在定义域内。

1、任取 y ∈ 到达域。

2、解方程 f(x) = y，求出所有可能的 x 表达式。

3、检验所求得的每个 x 是否属于函数的定义域。

4、若对每个 y 都能找到至少一个满足条件的 x，则函数为满射。

四、利用函数图像或单调性辅助判断

对于实数集上的连续函数，可借助图像特征或严格单调性快速辅助判断单射性；而满射性可通过值域与到达域的比较直接判定，无需逐点验证。

1、绘制函数在定义域内的图像，观察是否存在水平线与图像交点多于一个。

2、若图像在定义域上严格单调（递增或递减），则函数一定为单射。

3、计算函数在定义域上的最小值与最大值（或上下确界），确定其实际值域。

4、比较该值域与题目给定的到达域：若二者完全相等，则函数为满射。

五、构造反例否定单射或满射

若需证某函数“不是”单射或“不是”满射，只需给出一个明确反例即可，无需穷举所有情况。反例必须严格满足定义中的否定条件。

1、要否定单射，找出两个不同输入 x₁ ≠ x₂，使得 f(x₁) = f(x₂)。

2、要否定满射，找出一个输出 y₀ ∈ 到达域，使得方程 f(x) = y₀ 在定义域内无解。

3、将所选数值代入函数，完成等式验证或无解说明。

4、确认该反例中所有元素均属于各自指定集合（定义域、到达域）。