Warum künstliche Intelligenz die Mathematik revolutionieren könnte

Herausgeber |. Kohlblätter

„Eine Vermutung aufzustellen – eine Aussage, von der man annimmt, dass sie wahr ist, die aber eines expliziten Beweises bedarf – ist für Mathematiker wie ein Moment göttlicher Inspiration. Mathematische Vermutungen sind jedoch nicht nur kontraintuitiv, ich Ich denke, dies ist der transformativste Bereich der maschinellen Intelligenz, sagte Thomas Fink, Direktor des Institute of Mathematical Sciences in London.

Im Jahr 2017 begannen Forscher am Institute of Mathematical Sciences in London, maschinelles Lernen als Hobby auf mathematische Daten anzuwenden. Während der COVID-19-Pandemie stellten sie fest, dass ein einfacher Klassifikator mit künstlicher Intelligenz (KI) die Rangfolge elliptischer Kurven vorhersagen konnte – ein Maß für ihre Komplexität.

Papierlink: https://arxiv.org/abs/2204.10140

Die elliptische Kurve ist die Grundlage der Zahlentheorie. Das Verständnis ihrer grundlegenden Statistiken ist ein wichtiger Schritt bei der Lösung eines der sieben Jahrtausendprobleme Sieben Haupträtsel werden vom Clay Mathematics Institute in Providence, Rhode Island, ausgewählt und mit jeweils 1 Million US-Dollar prämiert. Nur wenige erwarten, dass künstliche Intelligenz in diesem hochriskanten Bereich eine Rolle spielen wird.

Künstliche Intelligenz hat auch in anderen Bereichen Fortschritte gemacht. Vor einigen Jahren erstellte ein Computerprogramm namens Ramanujan-Maschine neue Formeln für Grundkonstanten wie π und e. Dazu werden Familien von Kettenbrüchen umfassend durchsucht – Brüche, deren Nenner eine Zahl plus ein Bruch ist, deren Nenner auch Brüche sind, bei denen eine Zahl plus ein Bruch ein Bruch ist, und so weiter. Einige dieser Vermutungen wurden bewiesen, andere bleiben ungelöst.

Link zum Papier: https://www.nature.com/articles/s41586-021-03229-4

Ein weiteres Beispiel bezieht sich auf die Knotentheorie, einen Zweig der Topologie, in dem man das Hypothetische betrachtet Das Seil verheddert sich, bevor die Enden zusammenkleben. Forscher von Google DeepMind trainierten ein neuronales Netzwerk anhand von Daten aus vielen verschiedenen Knoten und entdeckten unerwartete Beziehungen zwischen ihren algebraischen und geometrischen Strukturen.

Link zum Papier: https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x

Wie kann künstliche Intelligenz einen Einfluss auf den Bereich der Mathematik haben, in dem menschliche Kreativität als entscheidend angesehen wird?

Zuallererst gibt es in der Mathematik keine Zufälle. In realen Experimenten gibt es viele falsch-negative und falsch-positive Ergebnisse. Aber in der Mathematik wird ein Gegenbeispiel die Vermutung völlig zunichte machen. Die Polya-Vermutung besagt beispielsweise, dass die meisten ganzen Zahlen unterhalb einer bestimmten ganzen Zahl eine ungerade Anzahl von Primfaktoren haben. Doch 1960 stellte sich heraus, dass diese Vermutung für die Zahlen 906.180.359 nicht zutraf. Polyas Vermutung wurde sofort widerlegt.

Zweitens sind mathematische Daten, die künstliche Intelligenz trainieren können, billig. Primzahlen, Knoten und viele andere Arten mathematischer Objekte sind reichlich vorhanden. Die Online Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) enthält fast 375.000 Sequenzen – von der bekannten Fibonacci-Folge (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) bis zur leistungsstarken Busy Beaver-Folge (0, 1, 4). , 6, 13, ...), die schneller wächst als jede berechenbare Funktion. Wissenschaftler nutzen bereits Tools des maschinellen Lernens, um die OEIS-Datenbank zu durchsuchen und unerwartete Zusammenhänge zu entdecken.

OEIS: https://oeis.org/

Künstliche Intelligenz kann uns helfen, Muster zu entdecken und Vermutungen anzustellen. Aber nicht alle Vermutungen sind konsistent. Sie werden auch benötigt, um unser Verständnis der Mathematik zu verbessern. G. H. Hardy erklärte in seinem Artikel „A Mathematician’s Apology“ aus dem Jahr 1940, dass ein guter Satz „ein integraler Bestandteil vieler mathematischer Konstrukte sein sollte, die zum Beweis vieler verschiedener Arten von Sätzen verwendet werden“.

Mit anderen Worten: Die besten Theoreme erhöhen die Wahrscheinlichkeit, neue zu entdecken. Vermutungen, die uns helfen, neue mathematische Grenzen zu erreichen, sind besser als solche, die weniger Erkenntnisse liefern. Aber um sie zu unterscheiden, bedarf es einer Vorstellung davon, wie sich das Fachgebiet selbst entwickeln wird. Diese Art der Erfassung des breiteren Kontexts wird für lange Zeit außerhalb der Möglichkeiten der künstlichen Intelligenz liegen – daher wird es der Technologie schwer fallen, wichtige Vermutungen zu erkennen.

Trotz dieser potenziellen Probleme bietet die breitere Einführung von KI-Tools in der Mathematik-Community viele Vorteile. Künstliche Intelligenz kann entscheidende Vorteile bringen und neue Forschungswege eröffnen.

Auch Mainstream-Mathematikzeitschriften sollten mehr Vermutungen veröffentlichen. Einige der wichtigsten Probleme der Mathematik – wie Fermats letzter Satz, Riemanns Hypothese, Hilberts 23 Probleme und Ramanujans viele Identitäten – sowie unzählige weniger bekannte Vermutungen haben die Entwicklung der Feldrichtung geprägt. Vermutungen weisen uns in die richtige Richtung und beschleunigen die Forschung. Zeitschriftenartikel über Vermutungen, die durch Daten oder heuristische Argumente gestützt werden, werden die Entdeckung beschleunigen.

Im Jahr 2023 prognostizieren Forscher von Google DeepMind, dass 2,2 Millionen neue Kristallstrukturen entstehen werden. Es bleibt jedoch abzuwarten, wie viele dieser potenziellen neuen Materialien stabil und synthetisierbar sind und praktische Anwendungen haben. Derzeit ist dies vor allem eine Aufgabe für Humanforscher mit breitem Hintergrund in den Materialwissenschaften.

Link zum Papier: https://www.nature.com/articles/s41586-023-06735-9

Ebenso erfordert das Verständnis der Ergebnisse von Werkzeugen der künstlichen Intelligenz die Vorstellungskraft und Intuition eines Mathematikers. Daher wird KI nur als Katalysator für die menschliche Kreativität fungieren, nicht als Ersatz.

Verwandter Inhalt: https://www.nature.com/articles/d41586-024-01413-w

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