如何使用Python實現哈爾伯特變換？

一、希爾伯特變換是什麼

希爾伯特變換最初只對週期函數（也就是圓上的函數）有定義，在這種情況下它就是與希爾伯特核的捲積。然而較常見的情況下，對於定義在實直線R（上半平面的邊界）上的函數，希爾伯特變換是指與柯西核卷積。希爾伯特變換與帕利-維納定理有著密切的聯繫，帕利-維納定理是將上半平面內的全純函數與實直線上的函數的傅立葉變換相聯繫起來的另一種結果。

二、VC中的實作原理及程式碼範例

VC中可以透過快速傅立葉變換（FFT）來實現希爾伯特變換。

以下是一個簡單的C 程式碼實作希爾伯特變換，需要使用C 11以上版本的標準函式庫。首先我們要實作一個FFT函數，然後使用FFT函數來實作希爾伯特變換。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <complex>
#include <vector>

using namespace std;

typedef complex<double> Complex;
typedef vector<Complex> ComplexVector;

// 快速傅里叶变换
void fft(ComplexVector& data) {
    int n = data.size();
    if (n <= 1) {
        return;
    }

    // 分离偶数项和奇数项
    ComplexVector even(n/2), odd(n/2);
    for (int i = 0; i < n; i += 2) {
        even[i/2] = data[i];
        odd[i/2] = data[i+1];
    }

    // 递归计算偶数项和奇数项的FFT
    fft(even);
    fft(odd);

    // 计算每个k点的DFT
    for (int k = 0; k < n/2; k++) {
        Complex t = polar(1.0, -2 * M_PI * k / n) * odd[k];
        data[k] = even[k] + t;
        data[k+n/2] = even[k] - t;
    }
}


// 希尔伯特变换
void hilbertTransform(ComplexVector& signal) {
    int n = signal.size();

    // 扩展信号长度至2的幂次方
    int n2 = 1;
    while (n2 < n) {
        n2 *= 2;
    }
    signal.resize(n2);

    // 进行FFT变换
    fft(signal);

    // 对FFT结果进行处理
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        signal[i] *= 2;
    }
    for (int i = n; i < n2; i++) {
        signal[i] = 0;
    }
    signal[0] = 1;
    signal[n] = 0;

    // 反向FFT变换
    fft(signal);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        signal[i] = signal[i].imag() / n;
    }
}

int main() {
    ComplexVector signal = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
    hilbertTransform(signal);

    // 输出结果
    for (int i = 0; i < signal.size(); i++) {
        cout << signal[i] << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

在上述程式碼中，我們先實作了一個快速傅立葉變換函數fft，然後在hilbertTransform函數中使用FFT計算希爾伯特轉換。在希爾伯特變換的計算過程中，我們首先對訊號進行了長度的擴展，然後進行了FFT變換，接著根據希爾伯特變換的公式進行了FFT結果的處理，最後進行反向FFT變換得到最終的希爾伯特變換結果。

在上述程式碼中，我們使用了複數型別complex和向量型別vector來方便地處理訊號和FFT結果。在實際應用中，我們可以將輸入訊號讀取自檔案或從即時擷取的資料中獲取，然後呼叫hilbertTransform函數進行希爾伯特變換，得到變換後的訊號。

三、用Python程式實作

使用Python也可以方便地實作希爾伯特變換。以下是使用numpy函式庫實作希爾伯特變換的範例程式碼：

import numpy as np

def hilbert_transform(signal):
    """
    计算希尔伯特变换
    """
    n = len(signal)

    # 扩展信号长度至2的幂次方
    n2 = 1
    while n2 < n:
        n2 *= 2
    signal = np.append(signal, np.zeros(n2 - n))

    # 进行FFT变换
    spectrum = np.fft.fft(signal)

    # 对FFT结果进行处理
    spectrum[1:n] *= 2
    spectrum[n:] = 0
    spectrum[0] = 1
    spectrum[n] = 0

    # 反向FFT变换
    hilbert = np.real(np.fft.ifft(spectrum))
    hilbert = hilbert[:n]

    return hilbert

if __name__ == "__main__":
    signal = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
    hilbert = hilbert_transform(signal)

    # 输出结果
    print(hilbert)

上述程式碼中，我們先將輸入訊號擴展至2的冪次方長度，然後使用numpy.fft.fft函數進行FFT變換，對FFT結果進行處理，最後使用numpy.fft.ifft函數進行反向FFT變換得到希爾伯特轉換結果。

需要注意的是，由於numpy.fft.fft函數傳回的結果是按照FFT變換的頻率從小到大排列的，而希爾伯特變換則是在時域上進行的，因此我們需要對FFT結果進行一定的處理才能得到正確的希爾伯特轉換結果。在上述程式碼中，我們對FFT結果進行了一系列處理，包括將非零頻率部分的幅度乘以2，將非零頻率部分之外的頻率置零，以及將直流分量和Nyquist頻率分量的值分別設為1和0，從而得到正確的希爾伯特變換結果。

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