為什麼人工智慧可以為數學帶來革命性變化

編輯| 白菜葉

「提出一個猜想——一個被懷疑為真的命題，但需要明確的證明——對數學家來說就像是神聖靈感的時刻。機器智能最初最具變革性的領域。

2017 年，倫敦數學科學研究所的研究人員開始將機器學習應用於數學數據，作為一種愛好。在 COVID-19 大流行期間，他們發現簡單的人工智慧（AI）分類器可以預測橢圓曲線的排名——衡量其複雜性的指標。

論文連結：https://arxiv.org/abs/2204.10140

橢圓曲線是數論的基礎，了解其基礎統計數據是解決七大千年難題之一的關鍵一步，這七大難題由羅德島州普羅維登斯的克萊數學研究所選出，每項獎金為100 萬美元。很少有人期待人工智慧會在這個高風險的領域發揮作用。

人工智慧在其他領域取得了進展。幾年前，一個名為拉馬努金機（Ramanujan Machine）的電腦程式產生了基本常數的新公式，例如 π 和 e。它透過詳盡地搜尋連分數族來做到這一點——分母是一個數字加一個分數的分數，其分母也是一個數字加一個分數的分數，依此類推。其中一些猜想已經被證明，而另一些猜想仍然懸而未決。

論文連結：https://www.nature.com/articles/s41586-021-03229-4

#另一個例子與結理論有關，這是拓樸學的一個分支，其中一條假設的繩子在兩端黏在一起之前纏結在一起。 Google DeepMind 的研究人員利用許多不同結的數據訓練了一個神經網絡，並發現了它們的代數和幾何結構之間的意想不到的關係。

論文連結：https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x

#人工智慧如何在人類創造力被認為至關重要的數學領域中產生影響？

首先，數學中不存在巧合。在現實世界的實驗中，假陰性和假陽性比比皆是。但在數學中，一個反例就會讓猜想徹底推翻。例如，波利亞猜想指出，大多數低於任何給定整數的整數都具有奇數個質因數。但到了1960年，人們發現這個猜想對於數字 906,180,359，這個猜想並不成立。波利亞猜想一下子就被證偽了。

其次，可以訓練人工智慧的數學資料很便宜。素數、紐結（knot）以及許多其他類型的數學對象非常豐富。整數序列線上百科全書（OEIS）包含近375,000 個序列— 從熟悉的斐波那契數列(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) 到強大的Busy Beaver 數列(0, 1, 4, 6, 13, ...)，它的成長速度比任何可計算函數都快。科學家已經在使用機器學習工具來搜尋 OEIS 資料庫，以發現意想不到的關係。

OEIS：https://oeis.org/

人工智慧可以幫助我們發現模式並形成猜測。但並非所有猜想都是一致的。他們也需要增進我們對數學的理解。 G. H. Hardy 在 1940 年的文章《A Mathematician’s Apology》中解釋說，一個好的定理「應該是許多數學構造的組成部分，用來證明許多不同類型的定理」。

換句話說，最好的定理增加了發現新定理的可能性。幫助我們達到新的數學前沿的猜想，比那些產生較少見解的猜想更好。但區分它們需要對這個領域本身將如何發展有直覺。這種對更廣泛背景的掌握，將在很長一段時間內超出人工智慧的能力範圍——因此該技術將很難發現重要的猜測。

雖然有這些潛在問題，但是在數學界更廣泛地採用人工智慧工具還是有很多好處的。人工智慧可以提供決定性的優勢並開闢新的研究途徑。

主流數學期刊也應該多發表猜想。數學中一些最重要的問題——例如費馬大定理、黎曼假設、希爾伯特的23 個問題和拉馬努金的眾多恆等式——以及無數不太出名的猜想塑造了該領域的發展方向。猜想為我們指明了正確的方向，從而加快了研究速度。由數據或啟發式論證支持的關於猜想的期刊文章將加速發現。

2023 年，Google DeepMind 的研究人員預測會出現 220 萬個新的晶體結構。但這些潛在的新材料中有多少是穩定的、可以合成的並且具有實際應用還有待觀察。目前，這主要是人類研究人員的任務，他們掌握了材料科學的廣泛背景。

論文連結：https://www.nature.com/articles/s41586-023-06735-9

#同樣，要理解人工智慧工具的輸出，就需要數學家的想像力和直覺。因此，人工智慧只會作為人類創造力的催化劑，而不是替代品。

相關內容：https://www.nature.com/articles/d41586-024-01413-w

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