Pembelajaran Mendalam Geometrik: Penerokaan Mendalam Prinsip, Aplikasi dan Hala Tuju Masa Depan

Pengenalan kepada Pembelajaran Dalam Geometri

Pembelajaran Dalam Geometri (GDL) ialah bidang yang sedang berkembang dalam kecerdasan buatan (AI) yang memperluaskan keupayaan model pembelajaran mendalam tradisional dengan menggabungkan prinsip geometri. Tidak seperti pembelajaran mendalam konvensional, yang biasanya beroperasi pada struktur data seperti grid seperti imej dan jujukan, GDL direka bentuk untuk mengendalikan jenis data yang lebih kompleks dan tidak teratur, seperti graf, manifold dan awan titik. Pendekatan ini membolehkan pemodelan yang lebih bernuansa bagi data dunia sebenar, yang selalunya mempamerkan struktur geometri dan topologi yang kaya.

Idea teras di sebalik GDL adalah untuk menyamaratakan seni bina rangkaian saraf agar berfungsi dengan data bukan Euclidean, memanfaatkan simetri, invarians dan prior geometri. Ini telah membawa kepada kemajuan terobosan dalam pelbagai domain, termasuk penglihatan komputer, pemprosesan bahasa semula jadi (NLP), penemuan dadah dan analisis rangkaian sosial.

Dalam artikel komprehensif ini, kami akan meneroka prinsip asas pembelajaran mendalam geometri, perkembangan sejarahnya, metodologi utama dan aplikasinya. Kami juga akan menyelidiki hala tuju masa depan yang berpotensi dalam bidang ini dan cabaran yang dihadapi oleh penyelidik dan pengamal.

1. Asas Pembelajaran Dalam Geometri

Apakah Pembelajaran Dalam Geometrik?

Pembelajaran Dalam Geometri ialah subbidang pembelajaran mesin yang memanjangkan teknik pembelajaran mendalam tradisional kepada domain bukan Euclidean. Walaupun model pembelajaran mendalam klasik, seperti rangkaian saraf konvolusi (CNN) dan rangkaian saraf berulang (RNN), sangat berkesan untuk data seperti grid (mis., imej, siri masa), mereka bergelut dengan data yang tidak mempunyai struktur biasa, seperti sebagai graf, manifold atau awan titik. GDL menangani had ini dengan memasukkan prinsip geometri, seperti simetri dan invarian, ke dalam seni bina rangkaian saraf.

Dalam istilah yang lebih mudah, GDL membenarkan model pembelajaran mesin memahami dan memproses data yang sememangnya bersifat geometri. Sebagai contoh, rangkaian sosial boleh diwakili sebagai graf di mana nod mewakili individu, dan tepi mewakili perhubungan. Model pembelajaran mendalam tradisional tidak sesuai untuk menangkap struktur data tersebut, tetapi model GDL, seperti Graph Neural Networks (GNN), boleh memproses maklumat ini dengan berkesan.

Konteks dan Motivasi Sejarah

Asal usul pembelajaran mendalam geometri boleh dikesan kembali kepada beberapa perkembangan utama dalam bidang penglihatan komputer, teori graf dan geometri pembezaan. Kerja awal dalam rangkaian saraf konvolusi (CNN) meletakkan asas untuk memahami cara rangkaian saraf boleh mengeksploitasi simetri spatial, seperti invarian terjemahan, untuk meningkatkan prestasi pada tugas pengecaman imej. Walau bagaimanapun, tidak lama kemudian menjadi jelas bahawa banyak masalah dunia sebenar melibatkan data yang tidak dapat disusun dengan rapi ke dalam grid.

Ini membawa kepada penerokaan seni bina baharu yang boleh mengendalikan struktur data yang lebih kompleks. Pengenalan Rangkaian Neural Graf (GNN) pada awal tahun 2000-an menandakan satu peristiwa penting, kerana ia membenarkan model pembelajaran mendalam beroperasi pada data berstruktur graf. Lama kelamaan, penyelidik mula membuat generalisasi idea ini kepada domain geometri yang lain, seperti manifold dan geodesik, yang menimbulkan bidang pembelajaran mendalam geometri yang lebih luas.

Mengapa Pembelajaran Dalam Geometri Penting

Pembelajaran Mendalam Geometri bukan sekadar kemajuan teori,ia mempunyai implikasi praktikal merentas pelbagai industri. Dengan membolehkan model pembelajaran mendalam memproses data bukan Euclidean yang kompleks, GDL membuka kemungkinan baharu dalam bidang seperti penemuan dadah, di mana struktur molekul boleh diwakili sebagai graf atau dalam pemanduan autonomi, di mana awan titik 3D digunakan untuk memodelkan persekitaran .

Selain itu, GDL menawarkan pendekatan yang lebih berprinsip untuk menggabungkan pengetahuan domain ke dalam model pembelajaran mesin. Dengan membenamkan prior geometri ke dalam seni bina, model GDL boleh mencapai prestasi yang lebih baik dengan kurang data, menjadikannya lebih cekap dan boleh digeneralisasikan.

---

2. Konsep Teras dalam Pembelajaran Mendalam Geometri

Simetri dan Invarian

Salah satu idea utama dalam pembelajaran mendalam geometri ialah konsep simetri. Dalam matematik, simetri merujuk kepada sifat bahawa objek kekal tidak berubah di bawah transformasi tertentu. Sebagai contoh, segi empat sama kekal segi empat sama jika ia diputar sebanyak 90 darjah. Dalam konteks pembelajaran mendalam, simetri boleh dimanfaatkan untuk meningkatkan kecekapan dan ketepatan rangkaian saraf.

Invarian, sebaliknya, merujuk kepada sifat yang fungsi atau model menghasilkan output yang sama tanpa mengira transformasi tertentu yang digunakan pada input. Contohnya, CNN tidak berubah kepada terjemahan, bermakna ia boleh mengecam objek dalam imej tidak kira di mana ia muncul.

Kesamaan dalam Rangkaian Neural

Walaupun invarian adalah sifat yang diingini dalam banyak kes, kesetaraan selalunya lebih berguna dalam pembelajaran mendalam geometri. Sesuatu fungsi adalah setara jika menggunakan penjelmaan pada input menghasilkan penjelmaan yang sepadan dengan output. Sebagai contoh, lapisan konvolusi dalam CNN adalah terjemahan-setara: jika imej input dianjakkan, peta ciri yang dihasilkan oleh konvolusi juga dianjakkan dengan jumlah yang sama.

Kesetaraan amat penting apabila berurusan dengan data yang mempamerkan struktur geometri yang kompleks, seperti graf atau pancarongga. Dengan mereka bentuk rangkaian saraf yang setara dengan transformasi tertentu (cth., putaran, pantulan), kami boleh memastikan model itu menghormati simetri asas data, yang membawa kepada generalisasi dan prestasi yang lebih baik.

Jenis Struktur Geometrik: Grid, Kumpulan, Graf, Geodesik dan Tolok

Pembelajaran mendalam geometri beroperasi pada pelbagai struktur data, masing-masing mempunyai sifat uniknya sendiri. Jenis struktur geometri yang paling biasa ditemui dalam GDL ialah:

1. Grid: Struktur data biasa, seperti imej, di mana titik data disusun dalam fesyen seperti grid.
2. Kumpulan: Struktur matematik yang menangkap simetri, seperti putaran atau terjemahan.
3. Graf: Struktur data tidak teratur yang terdiri daripada nod dan tepi, biasanya digunakan untuk mewakili rangkaian sosial, molekul atau sistem pengangkutan.
4. Geodesik: Ruang melengkung, seperti permukaan atau manifold, di mana jarak diukur di sepanjang laluan melengkung.
5. Tolok: Alat matematik yang digunakan untuk menerangkan medan dan sambungan dalam geometri pembezaan, sering digunakan dalam fizik dan robotik.

Setiap struktur ini memerlukan seni bina rangkaian saraf khusus yang boleh mengeksploitasi sifat uniknya, yang membawa kepada pembangunan model seperti Rangkaian Neural Graf (GNN) dan Rangkaian Neural Geodesik.

---

3. Model Seni Bina Utama dalam Pembelajaran Mendalam Geometri

Rangkaian Neural Konvolusi (CNN) pada Grid

Rangkaian Neural Konvolusi (CNN) mungkin merupakan seni bina pembelajaran mendalam yang paling terkenal, pada asalnya direka untuk tugas pemprosesan imej. CNN mengeksploitasi struktur imej seperti grid dengan menggunakan penapis konvolusi yang setara terjemahan, bermakna mereka boleh mengesan ciri tanpa mengira lokasinya dalam imej.

Dalam konteks pembelajaran mendalam geometri, CNN boleh diperluaskan untuk beroperasi pada struktur seperti grid yang lebih umum, seperti grid voxel 3D atau grid spatio-temporal. Sambungan ini membolehkan CNN mengendalikan jenis data yang lebih kompleks, seperti imbasan perubatan 3D atau urutan video.

Rangkaian Neural Graf (GNN)

Rangkaian Neural Graf (GNN) adalah kelas rangkaian saraf yang direka khusus untuk beroperasi pada data berstruktur graf. Tidak seperti CNN, yang menganggap struktur grid biasa, GNN boleh mengendalikan data tidak teratur yang mana perhubungan antara titik data diwakili sebagai tepi dalam graf.

GNN telah digunakan untuk pelbagai masalah, daripada analisis rangkaian sosial kepada penemuan dadah. Dengan memanfaatkan maklumat ketersambungan dalam graf, GNN boleh menangkap kebergantungan kompleks antara titik data, yang membawa kepada ramalan yang lebih tepat.

Rangkaian Neural Geodesik

Rangkaian Neural Geodesic direka bentuk untuk beroperasi pada data yang terletak pada permukaan melengkung atau manifold. Dalam banyak aplikasi dunia nyata, seperti robotik atau pemodelan molekul, data tidak terhad kepada ruang Euclidean rata tetapi sebaliknya wujud pada permukaan melengkung. Rangkaian saraf geodesik menggunakan konsep geodesik�laluan terpendek pada permukaan melengkung�untuk mentakrifkan operasi konvolusi pada manifold.

Ini membolehkan rangkaian menangkap geometri intrinsik data, yang membawa kepada prestasi yang lebih baik pada tugasan seperti pengecaman bentuk 3D atau pembahagian permukaan.

Rangkaian Konvolusi Setara Tolok

Rangkaian Konvolusi Setara Tolok adalah perkembangan terkini dalam pembelajaran mendalam geometri, direka bentuk untuk mengendalikan data yang mempamerkan simetri tolok. Dalam fizik, simetri tolok ialah penjelmaan yang membiarkan kuantiti fizik tertentu tidak berubah, seperti putaran dalam mekanik kuantum.

Rangkaian setara tolok memperluaskan konsep kesetaraan kepada simetri yang lebih umum ini, membolehkan rangkaian menghormati undang-undang fizikal asas data. Ini mempunyai aplikasi penting dalam bidang seperti fizik zarah, di mana data sering mempamerkan simetri tolok yang kompleks.

---

4. Asas Matematik Pembelajaran Dalam Geometri

Teori dan Simetri Kumpulan

Di tengah-tengah pembelajaran mendalam geometri ialah teori kumpulan, satu cabang matematik yang mengkaji simetri. Kumpulan ialah satu set elemen bersama-sama dengan operasi yang memenuhi sifat tertentu, seperti penutupan, persekutuan, dan kewujudan elemen identiti. Kumpulan digunakan untuk menerangkan simetri dalam pelbagai konteks, daripada putaran dan terjemahan kepada transformasi yang lebih abstrak.

Dalam pembelajaran mendalam geometri, teori kumpulan menyediakan rangka kerja formal untuk memahami cara rangkaian saraf boleh mengeksploitasi simetri dalam data. Contohnya, CNN direka bentuk untuk menjadi setara dengan kumpulan terjemahan, bermakna mereka boleh mengesan ciri dalam imej tanpa mengira kedudukannya.

Teori Graf dan Kaedah Spektrum

Teori graf adalah satu lagi alat matematik utama dalam pembelajaran mendalam geometri, terutamanya untuk model yang beroperasi pada data berstruktur graf. Graf terdiri daripada nod dan tepi, dengan nod mewakili titik data dan tepi mewakili hubungan antara mereka.

Salah satu teknik terpenting dalam teori graf ialah penggunaan kaedah spektrum, yang melibatkan menganalisis nilai eigen dan vektor eigen bagi matriks bersebelahan graf. Kaedah spektrum membolehkan kami mentakrifkan operasi konvolusi pada graf, yang membawa kepada pembangunan rangkaian neural graf spektrum.

Geometri Pembezaan dan Manifold

Geometri pembezaan ialah kajian lengkung dan permukaan licin, dikenali sebagai manifold. Dalam banyak aplikasi dunia nyata, data terletak pada permukaan melengkung dan bukannya ruang Euclidean rata. Contohnya, permukaan Bumi ialah manifold 2D yang tertanam dalam ruang 3D.

Model pembelajaran dalam geometri yang beroperasi pada manifold mesti mengambil kira kelengkungan ruang semasa mentakrifkan operasi konvolusi. Ini memerlukan penggunaan geometri pembezaan, yang menyediakan alat matematik yang diperlukan untuk berfungsi dengan ruang melengkung.

Topologi dan Homologi

Topologi ialah kajian tentang sifat ruang yang terpelihara di bawah ubah bentuk berterusan, seperti regangan atau lenturan. Dalam pembelajaran mendalam geometri, topologi digunakan untuk menganalisis struktur global data, seperti bilangan komponen atau lubang yang disambungkan dalam graf atau manifold.

Salah satu alatan yang paling penting dalam topologi ialah homologi, yang menyediakan cara untuk mengukur ciri topologi ruang. Homologi telah digunakan dalam pembelajaran mendalam geometri untuk meningkatkan keteguhan model kepada bunyi dan gangguan dalam data.

---

5. Aplikasi Pembelajaran Dalam Geometri

Penglihatan Komputer dan Pengecaman Objek 3D

Salah satu aplikasi pembelajaran mendalam geometri yang paling menarik ialah dalam bidang penglihatan komputer, terutamanya untuk tugasan yang melibatkan data 3D. Model penglihatan komputer tradisional, seperti CNN, direka bentuk untuk beroperasi pada imej 2D, tetapi banyak masalah dunia sebenar melibatkan objek atau adegan 3D.

Model pembelajaran mendalam geometri, seperti PointNet dan CNN Geodesic, telah dibangunkan untuk mengendalikan awan titik 3D, yang biasanya digunakan dalam aplikasi seperti pemanduan autonomi dan robotik. Model ini boleh mengecam objek dan pemandangan dalam 3D, walaupun apabila data bising atau tidak lengkap.

Penemuan Dadah dan Pemodelan Molekul

Dalam bidang penemuan dadah, pembelajaran mendalam geometri telah menunjukkan janji besar untuk memodelkan struktur molekul. Molekul boleh diwakili sebagai graf, di mana nod mewakili atom dan tepi mewakili ikatan kimia. Dengan menggunakan Graph Neural Networks (GNN), penyelidik boleh meramalkan sifat molekul, seperti ketoksikan atau keberkesanannya sebagai ubat.

Ini berpotensi untuk merevolusikan industri farmaseutikal dengan mempercepatkan proses penemuan ubat dan mengurangkan keperluan untuk eksperimen yang mahal dan memakan masa.

Analisis Rangkaian Sosial

Rangkaian sosial adalah satu lagi aplikasi penting pembelajaran mendalam geometri. Rangkaian sosial boleh diwakili sebagai graf, di mana nod mewakili individu dan tepi mewakili hubungan antara mereka. Dengan menggunakan model pembelajaran mendalam geometri, seperti GNN, penyelidik boleh menganalisis struktur rangkaian sosial dan meramalkan hasil seperti penyebaran maklumat atau pembentukan komuniti.

Ini mempunyai aplikasi penting dalam bidang seperti pemasaran, politik dan kesihatan awam, yang memahami dinamik rangkaian sosial adalah penting.

Pemprosesan Bahasa Asli (NLP)

Walaupun pembelajaran mendalam geometri paling kerap dikaitkan dengan data berstruktur graf, ia juga mempunyai aplikasi dalam pemprosesan bahasa semula jadi (NLP). Dalam NLP, ayat boleh diwakili sebagai graf, di mana nod mewakili perkataan dan tepi mewakili hubungan antara mereka, seperti kebergantungan sintaksis.

Model pembelajaran mendalam geometri, seperti Graph Convolutional Networks (GCN), telah digunakan untuk meningkatkan prestasi pada pelbagai tugas NLP, termasuk analisis sentimen, terjemahan mesin dan menjawab soalan.

Robotik dan Sistem Autonomi

Dalam bidang robotik, pembelajaran mendalam geometri telah digunakan untuk meningkatkan prestasi sistem autonomi. Robot selalunya beroperasi dalam persekitaran yang boleh diwakili sebagai awan titik 3D atau manifold, dan model pembelajaran mendalam geometri boleh digunakan untuk memproses data ini dan membuat keputusan dalam masa nyata.

Sebagai contoh, pembelajaran mendalam geometri telah digunakan untuk meningkatkan ketepatan penyetempatan dan pemetaan serentak (SLAM), masalah utama dalam robotik di mana robot mesti membina peta persekitarannya sambil menjejaki lokasinya sendiri pada masa yang sama.

---

6. Cabaran dan Had Pembelajaran Dalam Geometri

Skalabiliti dan Kerumitan Pengiraan

Salah satu cabaran utama dalam pembelajaran mendalam geometri ialah isu kebolehskalaan. Banyak model pembelajaran mendalam geometri, terutamanya yang beroperasi pada graf, mempunyai kerumitan pengiraan yang tinggi, menjadikannya sukar untuk menskalakan kepada set data yang besar. Contohnya, kerumitan masa lapisan konvolusi graf adalah berkadar dengan bilangan tepi dalam graf, yang boleh menjadi sangat besar untuk graf dunia sebenar.

Penyelidik sedang giat berusaha membangunkan algoritma dan seni bina yang lebih cekap untuk menangani isu kebolehskalaan ini, tetapi ini kekal sebagai cabaran terbuka.

Perwakilan Data dan Prapemprosesan

Satu lagi cabaran dalam pembelajaran mendalam geometri ialah isu perwakilan data. Tidak seperti data seperti grid, seperti imej atau siri masa, data bukan Euclidean selalunya memerlukan langkah prapemprosesan yang kompleks untuk menukarnya kepada bentuk yang boleh digunakan oleh rangkaian saraf. Sebagai contoh, graf mesti diwakili sebagai matriks bersebelahan dan manifold mesti didiskrisikan menjadi jerat atau awan titik.

Prapemprosesan ini boleh memperkenalkan ralat atau bias ke dalam data, yang boleh menjejaskan prestasi model. Membangunkan kaedah yang lebih baik untuk mewakili dan pramemproses data geometri ialah bidang penyelidikan yang penting.

Kekurangan Alat dan Perpustakaan Terpiawai

Walaupun terdapat kemajuan yang ketara dalam membangunkan model pembelajaran mendalam geometri, masih terdapat kekurangan alat dan perpustakaan yang diseragamkan untuk melaksanakan model ini. Ramai penyelidik membangunkan pelaksanaan tersuai mereka sendiri, yang boleh menyukarkan untuk menghasilkan semula hasil atau membandingkan model yang berbeza.

Usaha sedang dijalankan untuk membangunkan lebih banyak perpustakaan standard, seperti PyTorch Geometric dan DGL (Deep Graph Library), tetapi masih banyak kerja yang perlu dilakukan dalam bidang ini.

Kebolehtafsiran dan Kebolehjelasan

Seperti banyak model pembelajaran mendalam, kebolehtafsiran dan kebolehjelasan adalah cabaran utama dalam pembelajaran mendalam geometri. Walaupun model ini boleh mencapai prestasi yang mengagumkan pada pelbagai tugas, selalunya sukar untuk memahami cara mereka mencapai ramalan mereka. Ini amat bermasalah dalam bidang seperti penjagaan kesihatan atau kewangan, di mana akibat daripada ramalan yang salah boleh menjadi teruk.

Membangunkan model pembelajaran mendalam geometri yang lebih boleh ditafsir dan boleh dijelaskan ialah bidang penyelidikan yang penting, dan beberapa teknik, seperti mekanisme perhatian dan peta kepentingan, telah dicadangkan untuk menangani isu ini.

---

7. Hala Tuju Masa Depan dalam Pembelajaran Dalam Geometri

Kemajuan dalam Perkakasan untuk Pengiraan Geometri

Salah satu hala tuju masa depan yang paling menarik untuk pembelajaran mendalam geometri ialah pembangunan perkakasan khusus untuk pengiraan geometri. Perkakasan semasa, seperti GPU dan TPU, dioptimumkan untuk data seperti grid, seperti imej atau jujukan, tetapi kurang cekap untuk data bukan Euclidean, seperti graf atau manifold.

Penyelidik sedang meneroka seni bina perkakasan baharu, seperti unit pemprosesan tensor (TPU) dan pemproses kuantum, yang boleh meningkatkan kecekapan model pembelajaran mendalam geometri secara mendadak. Kemajuan ini boleh membolehkan pembelajaran mendalam geometri untuk skala kepada set data yang lebih besar dan tugas yang lebih kompleks.

Integrasi dengan Pengkomputeran Kuantum

Satu lagi hala tuju masa depan yang menarik ialah penyepaduan pembelajaran mendalam geometri dengan pengkomputeran kuantum. Komputer kuantum mempunyai potensi untuk menyelesaikan jenis masalah tertentu, seperti masalah berasaskan graf, jauh lebih cekap daripada komputer klasik. Dengan menggabungkan kuasa pengkomputeran kuantum dengan fleksibiliti pembelajaran mendalam geometri, penyelidik boleh membuka kunci kemungkinan baharu dalam bidang seperti kriptografi, penemuan dadah dan pengoptimuman.

Aplikasi Dunia Sebenar: Penjagaan Kesihatan, Sains Iklim dan Banyak Lagi

Memandangkan pembelajaran mendalam geometri terus matang, kami boleh mengharapkan untuk melihat lebih banyak aplikasi dunia sebenar merentas pelbagai industri. Dalam penjagaan kesihatan, contohnya, pembelajaran mendalam geometri boleh digunakan untuk memodelkan struktur protein atau meramalkan penyebaran penyakit. Dalam sains iklim, ia boleh digunakan untuk memodelkan atmosfera Bumi atau meramalkan kesan perubahan iklim.

Aplikasi ini berpotensi untuk memberi impak yang ketara kepada masyarakat, tetapi ia juga datang dengan cabaran, seperti memastikan penggunaan beretika teknologi ini dan menangani isu berat sebelah dan keadilan.

Pertimbangan Etika dan Bias dalam Model Geometri

Seperti semua model pembelajaran mesin, terdapat pertimbangan etika penting yang mesti ditangani dalam pembelajaran mendalam geometri. Salah satu kebimbangan utama ialah isu berat sebelah. Model pembelajaran mendalam geometri, seperti semua model pembelajaran mesin, hanya sebaik data yang dilatih untuk digunakan. Jika data latihan berat sebelah, ramalan model juga akan berat sebelah.

Penyelidik sedang giat berusaha membangunkan teknik untuk mengurangkan berat sebelah dalam model pembelajaran mendalam geometri, seperti pembelajaran yang mementingkan keadilan dan debias lawan. Walau bagaimanapun, ini kekal sebagai bidang penyelidikan yang penting, terutamanya kerana model pembelajaran mendalam geometri digunakan pada domain sensitif seperti penjagaan kesihatan dan keadilan jenayah.

---

8. Kesimpulan

Pembelajaran Mendalam Geometrik mewakili kemajuan ketara dalam bidang pembelajaran mesin, menawarkan cara baharu untuk memodelkan data bukan Euclidean yang kompleks. Dengan menggabungkan prinsip geometri seperti simetri, invarian dan kesetaraan, model GDL boleh mencapai prestasi yang lebih baik pada pelbagai tugas, daripada pengecaman objek 3D kepada penemuan dadah.

Walau bagaimanapun, masih terdapat banyak cabaran yang perlu ditangani, termasuk isu kebolehskalaan, perwakilan data dan kebolehtafsiran. Memandangkan penyelidik terus membangunkan algoritma dan perkakasan yang lebih cekap, dan apabila alat dan perpustakaan piawai semakin tersedia secara meluas, kami boleh mengharapkan untuk melihat lebih banyak aplikasi pembelajaran mendalam geometri yang lebih menarik pada masa hadapan.

Impak potensi pembelajaran mendalam geometri adalah luas, dengan aplikasi dalam bidang yang pelbagai seperti penjagaan kesihatan, sains iklim, robotik dan pengkomputeran kuantum. Dengan membuka kunci kuasa geometri, GDL berpotensi untuk merevolusikan cara kami mendekati data yang kompleks dan menyelesaikan beberapa cabaran paling mendesak pada zaman kita.

Atas ialah kandungan terperinci Pembelajaran Mendalam Geometrik: Penerokaan Mendalam Prinsip, Aplikasi dan Hala Tuju Masa Depan. Untuk maklumat lanjut, sila ikut artikel berkaitan lain di laman web China PHP!