C++ 함수 재귀에 대한 자세한 설명: 재귀의 복잡성 분석

재귀는 함수가 자신을 호출하는 프로세스입니다. 재귀의 시간 복잡도는 재귀 호출 횟수를 세어 분석할 수 있습니다. 예를 들어 계승 함수는 O(n^2)이고, 피보나치 수열의 n번째 항의 재귀 함수는 O(ψ^n)입니다. 여기서 ψ는 황금 비율입니다.

C++ 함수 재귀에 대한 자세한 설명: 재귀의 복잡성 분석

재귀란 무엇인가요?

재귀는 자신을 호출하는 함수의 동작입니다. 재귀는 함수가 자신 내에서 자신을 호출할 때 발생합니다.

재귀의 예

다음은 계승을 계산하는 재귀 함수입니다.

int factorial(int n) {
  if (n == 0) {
    return 1;
  }
  return n * factorial(n - 1);
}

재귀의 복잡성 분석

재귀 함수의 복잡성은 재귀 호출 횟수를 세어 분석할 수 있습니다.

팩토리얼 함수의 경우:

• n이 0이면 재귀적으로 한 번 호출합니다.
• n이 1이면 재귀 호출이 2번 발생합니다(자체 호출 1회, 꼬리 호출 1회).
• n이 2이면 재귀 호출이 3번 수행됩니다(자체 호출 1회, 꼬리 호출 2회).

비유적으로 n이 k일 때 재귀 호출 횟수는 k + 1입니다.

재귀 호출의 수는 1, 2, 3, ..., k + 1의 산술 수열을 형성하며 그 합산 공식은 다음과 같습니다.

1 + 2 + 3 + ... + (k + 1) = (k + 1) * (k + 2) / 2

따라서 계승 함수의 복잡도는 O(n^2)입니다. .

실용 사례

다음은 피보나치 수열의 n번째 항을 계산하는 재귀 함수입니다.

int fibonacci(int n) {
  if (n <= 1) {
    return 1;
  }
  return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

재귀 호출 횟수는 황금비와 관련이 있으며 복잡도는 O(ψ^n)입니다. 여기서 Φ ≒ 1.618 황금비입니다.

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