CRPS: 베이지안 기계 학습 모델의 점수 매기기 기능

CRPS(연속 순위 확률 점수) 또는 "연속 순위 확률 점수"는 분포 예측을 실제 값과 비교하는 함수 또는 통계입니다.

머신러닝 워크플로의 중요한 부분은 모델 평가입니다. 프로세스 자체는 상식으로 간주될 수 있습니다. 데이터를 훈련 세트와 테스트 세트로 분할하고, 훈련 세트에서 모델을 훈련하고, 채점 기능을 사용하여 테스트 세트에서 성능을 평가합니다.

채점 함수(또는 측정항목)는 실제 값과 그 예측을 비교 가능한 단일 값으로 매핑합니다[1]. 예를 들어 연속 예측의 경우 RMSE, MAE, MAPE 또는 R-제곱과 같은 점수 함수를 사용할 수 있습니다. 예측이 점별 추정이 아니라 분포라면 어떨까요?

베이지안 기계 학습에서 예측은 일반적으로 점별 추정이 아니라 값의 분포입니다. 예를 들어 예측은 분포의 추정된 매개변수이거나 비모수적 경우 MCMC 방법의 샘플 배열일 수 있습니다.

이 경우 기존 채점 기능은 통계 설계에 적합하지 않습니다. 예측 분포를 평균 또는 중앙값으로 집계하면 예측 분포의 분산 및 형태에 대한 상당한 정보가 손실됩니다.

CRPS

CRPS(Continuous Graded Probability Score)는 단일 실제 값을 누적 분포 함수(CDF)와 비교하는 분수 함수입니다.

1970년대에 처음 소개되었으며[4] 주로 사용됩니다. 일기예보는 이제 문헌과 산업계에서 새로운 주목을 받고 있습니다[1][6]. 이는 목표 변수가 연속적이고 모델이 목표의 분포를 예측할 때 모델 성능을 평가하는 측정항목으로 사용할 수 있습니다. 예로는 베이지안 회귀 또는 베이지안 시계열 모델이 있습니다[5].

CRPS는 CDF를 사용하여 모수적 및 비모수적 예측 모두에 유용합니다. 많은 분포의 경우 CRPS [3]에는 분석 표현식이 있고 비모수적 예측의 경우 CRPS는 경험적 누적 분포 함수(eCDF)를 사용합니다.

테스트 세트의 각 관찰에 대한 CRPS를 계산한 후 결과를 단일 값으로 집계해야 합니다. RMSE 및 MAE와 유사하게 (가중치 가능) 평균을 사용하여 요약됩니다.

단일 값을 분포와 비교할 때의 주요 과제는 단일 값을 분포 표현으로 변환하는 방법입니다. CRPS는 지표 함수를 사용하여 Ground Truth를 퇴화된 분포로 변환하여 이 문제를 해결합니다. 예를 들어 참값이 7이면 다음을 사용할 수 있습니다.

표시기 함수는 유효한 CDF이며 CDF의 모든 요구 사항을 충족할 수 있습니다. 그런 다음 예측된 분포를 실제 값의 퇴화된 분포와 비교할 수 있습니다. 우리는 예측 분포가 가능한 한 현실에 가깝기를 원합니다. 따라서 이는 두 CDF 사이의 (제곱) 면적을 측정하여 수학적으로 표현할 수 있습니다.

MAE 대 MAE 관계

CRPS 대 유명한 MAE( 평균 절대 오류)는 밀접한 관련이 있습니다. 점별 예측을 취하고 이를 퇴화된 CDF로 처리하고 이를 CRPS 방정식에 삽입하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

따라서 예측 분포가 퇴화된 분포(예: 점별 추정)인 경우 CRPS는 MAE로 줄입니다. 이는 또 다른 관점에서 CRPS를 이해하는 데 도움이 됩니다. 이는 분포 예측에 대한 MAE를 일반화하는 것으로 볼 수 있거나, 예측 분포가 퇴화될 때 MAE는 CRPS의 특별한 경우라고 볼 수 있습니다.

모델 예측이 모수적 분포인 경우(예: 분포 모수를 예측해야 하는 경우) CRPS는 일부 공통 분포에 대한 분석 표현을 갖습니다[3]. 모델이 정규 분포의 매개변수 μ 및 σ를 예측하는 경우 CRPS는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

이 체계는 베타, 감마, 로지스틱, 로그 정규 분포 등과 같은 알려진 분포를 해결할 수 있습니다[3 ].

eCDF 계산은 예측이 비모수적이거나 더 구체적으로 예측이 일련의 시뮬레이션인 경우 지루한 작업입니다. 그러나 CRPS는 다음과 같이 표현될 수도 있습니다:

여기서 X, X'는 F가 독립적이고 동일하게 분포됩니다. 이러한 표현식은 여전히 ​​약간의 계산이 필요하지만 계산하기가 더 쉽습니다.

Python 구현

import numpy as np
 
 
 # Adapted to numpy from pyro.ops.stats.crps_empirical
 # Copyright (c) 2017-2019 Uber Technologies, Inc.
 # SPDX-License-Identifier: Apache-2.0
 def crps(y_true, y_pred, sample_weight=None):
 num_samples = y_pred.shape[0]
 absolute_error = np.mean(np.abs(y_pred - y_true), axis=0)
 
 if num_samples == 1:
 return np.average(absolute_error, weights=sample_weight)
 
 y_pred = np.sort(y_pred, axis=0)
 diff = y_pred[1:] - y_pred[:-1]
 weight = np.arange(1, num_samples) * np.arange(num_samples - 1, 0, -1)
 weight = np.expand_dims(weight, -1)
 
 per_obs_crps = absolute_error - np.sum(diff * weight, axis=0) / num_samples**2
 return np.average(per_obs_crps, weights=sample_weight)

NRG 형식 [2]에 따라 구현된 CRPS 기능. pyroppl[6]

import numpy as np
 
 
 def crps(y_true, y_pred, sample_weight=None):
 num_samples = y_pred.shape[0]
 absolute_error = np.mean(np.abs(y_pred - y_true), axis=0)
 
 if num_samples == 1:
 return np.average(absolute_error, weights=sample_weight)
 
 y_pred = np.sort(y_pred, axis=0)
 b0 = y_pred.mean(axis=0)
 b1_values = y_pred * np.arange(num_samples).reshape((num_samples, 1))
 b1 = b1_values.mean(axis=0) / num_samples
 
 per_obs_crps = absolute_error + b0 - 2 * b1
 return np.average(per_obs_crps, weights=sample_weight)

에서 수정됨 위 코드는 PWM 형식[2]을 기반으로 CRPS를 구현합니다.

요약

CRPS(연속 순위 확률 점수)는 단일 실제 값을 예측 분포와 비교하는 점수 함수입니다. 이 속성은 모델이 일반적으로 점별 추정보다는 분포 예측을 출력하는 베이지안 기계 학습과 관련이 있습니다. 이는 분포 예측을 위해 잘 알려진 MAE를 일반화한 것으로 볼 수 있습니다.

모수적 예측을 위한 분석 표현식이 있고 비모수적 예측을 위한 간단한 계산이 가능합니다. CRPS는 지속적인 목표를 가지고 베이지안 기계 학습 모델의 성능을 평가하기 위한 새로운 표준 방법이 될 수 있습니다.

위 내용은 CRPS: 베이지안 기계 학습 모델의 점수 매기기 기능의 상세 내용입니다. 자세한 내용은 PHP 중국어 웹사이트의 기타 관련 기사를 참조하세요!