Jacobian 매트릭스 란 무엇입니까?

위치로의 가장 짧은 경로가 Google지도에 의해 결정되는 방법을 고려한 적이 있습니까? 아니면 스티어링 휠을 자동으로 움직이는 방법을 회전 할 때 차량의 움직임에 영향을 미칩니 까? 글쎄, 그것은 모두 Jacobian 매트릭스로 내려집니다. Jacobian 매트릭스는 벡터 함수의 부분 유도체의 매트릭스입니다. 자코비아 구형 좌표의 변형은 자코비아가 가장 일반적으로 사용되는 곳입니다. 그것은 자코비아 구형 조정이 차별화에서 변환을 조정한다는 아이디어를 다룬다. 이 기사에서는 Jacobian 매트릭스의 수학적 개념, 공식, 결정 요인 및 일상 생활에서 사용하는 방법에 대해 논의 할 것입니다.

목차

• 자코비아는 무엇입니까?
• 자코비아 매트릭스 란 무엇입니까?
• Jacobian 매트릭스의 수학적 기초
  • 벡터 값 함수 및 다 변수 미적분학
  • 표기 및 치수
  • 기하학적 해석
  • 자코비아 및 자코비아 기능의 거꾸로
• 자코비아의 속성
• 자코비아 매트릭스 계산
  • Jacobian 매트릭스의 분석 도출
  • 자코비아 매트릭스의 수치 근사
  • 자코비아 매트릭스의 자동 차별화
• 파이썬을 사용한 Jacobian 매트릭스 계산 및 결정 요인
• 자코비아 매트릭스의 응용
• 결론
• 자주 묻는 질문

자코비아는 무엇입니까?

Jacobian Matrix와 그 결정 요인은 같은 수의 변수를 가진 유한 수의 함수에 대해 정의되며 "Jacobian"이라고합니다. 한 변수 세트의 변화가 다른 공간 사이에 매핑하는 함수의 다른 변수 세트에 어떤 영향을 미치는지 알려줍니다.

이 시나리오에서는 변수와 동일한 함수의 첫 번째 부분 파생물이 각 행에서 찾을 수 있습니다. 매트릭스는 형태 일 수 있습니다 - 동일한 수와 열이 같은 사각형 매트릭스 또는 고르지 않은 행과 열이있는 직사각형 매트릭스입니다.

예 : 거꾸로 트레일이있는 산을 트레킹하는 동안 일반적으로 방향과 가파른 정도가 있습니다. 당신이 산에서 어디에 있든 Jacobian은 가이드를 갖는 것과 같습니다.

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자코비아 매트릭스 란 무엇입니까?

이제 Jacobian 행렬은 함수에 의해 입력 벡터의 출력 벡터로의 변환을 보여주는 부분 미분으로 구성된 매트릭스입니다. 모든 입력 변수와 관련하여 각 출력이 어떻게 변하는 지 설명합니다. 함수 f : : → ℝᵐ의 경우 총 m 성분 및 n 변수의 수를 갖는 경우, 자코비아 공식은 다음과 같이 표현 될 수 있습니다.

상징적 인 자코비아 매트릭스 :
매트릭스 ([[2*x, -1], [2*y, 2*x])))

지점 (2, 3)의 자코비아 :
매트릭스 ([[4, -1], [6, 4]])

자코비아의 결정 요인 (상징적) :
4*x ** 2 2*y

지점 (2, 3)의 결정 요인 :
22

지점 (2, 3)의 수치 자코비아 :

 <code>[[ 4.000001 -1. ] [ 6. 4. ]]</code>

여기서 Jacobian 공식은 한 지점 주위의 함수에 국부 선형 근사치를 제공하고 함수가 어떻게 스트레칭, 회전 및 변환되는지에 대한 설명을 제공합니다.

Jacobian 매트릭스의 수학적 기초

Jacobian 매트릭스를 완전히 이해하기 위해 수학의 다른 기초를 논의 할 것입니다.

1. 벡터 값 함수 및 다변량 미적분학

기본적으로 한 공간에서 다른 공간으로 포인트를 매핑하는 함수를 나타냅니다. 이러한 기능에는 여러 입력에 해당하는 여러 출력이 있습니다. 이러한 기능은 유체 역학과 같은 실제 시스템의 기초 구조를 제공합니다.

Jacobian은 선형 대수와 다중 변량 미적분학을 결합합니다. 스칼라 파생 상품은 단일 변수 함수의 변화율에 대해 알려줍니다. 또한 매트릭스 형식으로 제시된 여러 입력 및 출력이있는 함수 변화율에 대해 설명합니다.

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2. 표기법 및 치수

Jacobian 행렬의 구조와 형식은 변환의 표현에 대한 중요한 정보를 설명합니다. 함수 f : : in into ℝᵐ, 여기서 'n'은 입력을 나타내고 'm'출력을 나타내는 Jacobian은 'n'행렬에 의해 'm'입니다. Jacobian Matrix의 항목은 j ᵢⱼ = ∂fᵢ/∂xⱼ를 나타내며, I'TH 출력 함수의 표현은 jth 입력 변수와 관련하여 변경됩니다.

따라서 매트릭스의 치수는 변환에 영향을 미칩니다. 3D 공간에서 2D 공간까지 Jacobian은 입력과 동일한 출력 및 열과 동일한 행을 갖기 때문에 2*3 행렬이 발생합니다.

3. 기하학적 해석

Jacobian의 기능적 행동은 또한 대수 정의와 시각적 통찰력을 설명합니다. 다음 해석은 Jacobian 매트릭스가 기하학적 용어로 기능의 국부적 행동을 어떻게 설명하는지 식별하는 데 도움이됩니다.

• 로컬 선형 변환 : Jacobian은 포인트 근처에서 가장 선형 근사 기능을 제공합니다. 입력 지점에 대한 무한한 작은 영역이 출력에 어떻게 매핑되는지 설명합니다.
• 탄젠트 근사 : Jacobian은 탄젠트 벡터를 입력 공간에서 출력 공간으로, 반대로 번역합니다. 표면으로 생각할 때 표면이 서로에 대해 어떻게 회전되는지에 대한 로컬 설명을 제공합니다.

4. 자코비아 기능의 자코비아 및 무너성

자코비아와 무너 뜨리는 관계는 필요한 정보를 입증했습니다. 그것은 특정 지점에서 기능의 국부적 행동에 대한 통찰력을 제공했습니다.

• | J | > 0 : 로컬 오리엔테이션은 함수에 의해 보존됩니다.
• | J |
• | J | = 0 : 특별한 임계점에서의 역전 성이 손실됩니다

Jacobian이 비 소싱 할 때 마다이 기능은 이웃에서 역할 수 없다고합니다. 그런 다음 그 지점과 일치하면 우리는 역 기능 정리를 가질 것입니다. 그러나 자코비아 결정자가 0이 될 때마다 출력 도메인은 폴딩, 압축 또는 국소화를 겪습니다.

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자코비아의 속성

이제 야곱의 속성을 이해해 봅시다.

1. 체인 규칙 : 복합 함수의 경우, 자코비아 인을 곱하여 조성물의 자코비안을 얻을 수 있습니다.
2. 방향 유도체 : 자코비아는 방향을 따라 방향 도함수를 계산하는 데 사용될 수 있습니다.
3. 선형 근사치 : 임의의 함수의 근사치는 F (x Δx) ≈ f (x) j (x) · Δx로 주어진다.

자코비아 매트릭스 계산

이제 Jacobian 매트릭스를 계산하는 세 가지 방법과 Jacobian 구형 좌표의 변환 - 분석 도출, 수치 근사 및 자동 차별화가 보입니다.

Jacobian 매트릭스의 분석 도출

그것은 전환 구조에 대한 통찰력을 제공하는 Jacobian 매트릭스를 생성하기 위해 부분 파생 상품의 직접 계산에 의존하는 고전적인 방법입니다. 각 입력 변수에 대해 각 구성 요소 함수를 체계적으로 구별하여 달성됩니다.

벡터 함수 F : ℝⁿ → ℝᵐ 성분 F : FAT, FAT,…, FAL 및 변수 XO, X₂,…, Xₙ과 함께 각 J = 1,2,…

 j (x) = [<br> ∂f₁/∂x₁ ∂f₁/∂x₂ ... ∂f₁/∂xₙ<br> ∂f₂/∂x₁ ∂f₂/∂x₂ ... ∂f₂/∂xₙ<br> ... ... ... ...<br> ∂fₘ/∂x₁ ∂fₘ/∂x₂ ... ∂fₘ/∂xₙ<br> ]]<br><br> 예 : f (x, y) = (x²-y, 2xy), 평가 된 부분 미분은 다음과 같습니다.<br><br> ∂f₁/∂x = 2x<br> ∂f₁/∂y = -1<br> ∂f₂/∂x = 2y<br> ∂f₂/∂y = 2x<br><br> 그리고 이것에 의해 우리는 관찰 된 Jacobian 매트릭스가 다음과 같이 말할 수 있습니다.<br><br> j (x, y) = [2x -1<br> 2y 2x]

이 방법으로 정확한 결과를 볼 수 있습니다. 그러나 한 번에 여러 변수를 다루는 동안 상황이나 계산이 불가능한 복잡한 기능을 처리하면서 상황이 복잡해 질 수 있습니다.

자코비아 매트릭스의 수치 근사

분석 도출이 너무 부피가 커지거나 함수에 형태 발현이 없을 때마다, 수치 방법은 유한 한 차이를 사용하여 부분 파생 상품을 계산하는 실용적인 대안 솔루션을 제공합니다. 두 가지 주요 유한 차이 방법은 다음과 같습니다.

1. 전진 차이 :

 ∂fi/∂xⱼ ≈ [f (x₁, ..., xⱼ h, ..., xₙ) -f (x₁, ..., xⱼ, ..., xₙ)]/h

2. 높은 정확도와 중심 차이

 ∂fi/∂xⱼ ≈ [f (x₁, ..., xⱼ h, ..., xₙ) -f (x₁, ..., xⱼ -h, ..., xₙ)]/(2h)

여기서, h = 일반적으로 이중 정밀도의 경우 일반적으로 순서가 될 작은 단계.

올바른 크기의 단계를 선택하는 것입니다. 너무 크게 근사 오류를 가져 오는 반면, 작은 지점 제한으로 인해 작은 불안정성이 발생합니다. 적응성 단계 사이징 또는 Richardson 외삽법을 사용한 고급 기술은 정확도를 더욱 향상시킬 수 있습니다.

자코비아 매트릭스의 자동 차별화

분석 정확도와 계산 자동화를 결합한 자동 차별화는 목록에서 매우 높습니다. AD가 이산 오류를 피하는 것이 아니라 정확한 파생 상품을 계산한다는 점에서 수치 방법과 다릅니다. 자동 차별화의 기본 원리는 다음과 같습니다.

1. 체인 규칙의 적용 : 함수를 구성하는 초등 작용에 체인 규칙을 체계적으로 적용합니다.
2. 계산 그래프의 표현 : 함수는 알려진 유도체를 갖는 원시 작업에서 뾰족한 그래프로 분해됩니다.
3. 전방 및 역전 : 순방향 모드는 파생 상품을 입력에서 출력으로 전파하는 반면 리버스 모드는 출력에서 ​​입력으로 파생 상품을 다시 전파합니다.

이로 인해 Tensorflow, Pytorch, JAX와 같은 최신 소프트웨어 프레임 워크에 자동 차별화가 매우 접근 가능하고 효율적입니다. 그들은 기계 학습에서 자코비아 인을 계산하고 과학적 문제의 최적화 문제를 선호합니다.

파이썬을 사용한 Jacobian 매트릭스 계산 및 결정 요인

Python을 사용하여 Jacobian Matrix 및 Jacobian 구형 좌표를 구현할 수있는 방법을 살펴 보겠습니다. 우리는 Sympy and Numpy와 함께 각각 상징적 계산과 수치 근사를 모두 사용합니다.

1 단계 : 환경 설정

함수를 실행하는 데 필요한 경로를 가져옵니다.

 Numpy를 NP로 가져옵니다
sympy를 sp로 가져옵니다
matplotlib.pyplot을 plt로 가져옵니다
matplotlib.patches에서 타원을 가져옵니다

2 단계 : 상징적 계산을 수행하십시오

Sympy의 기호 계산 기능을 작성하십시오.

 def symbolic_jacobian () :
   x, y = sp.symbols ( 'x y')
   f1 = x ** 2 -y
   f2 = 2*x*y
  
   # 함수 벡터를 정의하십시오
   f = sp.matrix ([f1, f2])
   x = sp.matrix ([x, y])
  
   # Jacobian 매트릭스를 계산합니다
   J = F.Jacobian (X)
  
   print ( "상징적 인 자코비아 매트릭스 :")
   인쇄 (J)
  
   # 지점 (2, 3)에서 Jacobian 계산
   j_at_point = j.subs ([(x, 2), (y, 3)])))
   print ( "\ njacobian at point (2, 3) :")
   인쇄 (j_at_point)
  
   # 결정 요인을 계산합니다
   det_j = j.det ()
   print ( "\ ndeterminant of Jacobian (상징적) :")
   인쇄 (det_j)
   print ( "\ ndeterminant at point (2, 3) :")
   print (det_j.subs ([(x, 2),), (y, 3)]))))
  
   j, det_j를 반환합니다

3 단계 : 숫자 근사치를 추가하십시오

Numpy로 숫자 근사치에 대한 기능을 작성하십시오.

 def numerical_jacobian (func, x, epsilon = 1e-6) :
   n = len (x) # 입력 변수 수
   m = len (func (x)) # 출력 변수 수
  
   Jacobian = np.zeros ((M, N))
  
   범위 (n)의 i를 위해 :
       x_plus = x.copy ()
       x_plus [i] = Epsilon
      
       Jacobian [:, i] = (func (x_plus) - func (x)) / epsilon
      
   Jacobian을 반환하십시오

4 단계 : 실행 함수를 작성하십시오

위의 기능 실행 및 변환의 시각화를위한 기본 기능을 작성하십시오.

 def f (x) :
   np.array를 반환합니다 ([x [0] ** 2 -x [1], 2*x [0]*x [1]]))


# 변환을 시각화합니다
def visualize_transformation () :
   # 포인트 그리드를 만듭니다
   x = np.linspace (-3, 3, 20)
   y = np.linspace (-3, 3, 20)
   x, y = np.meshgrid (x, y)
  
   # 변환 된 점을 계산합니다
   u = x ** 2 -y
   v = 2*x*y
  
   # 원본 및 변환 된 그리드를 플로팅합니다
   그림, (Ax1, Ax2) = plt.subplots (1, 2, figsize = (12, 6))
  
   # 원본 그리드
   ax1.set_title ( '원래 공간')
   ax1.set_xlabel ( 'x')
   ax1.set_ylabel ( 'y')
   ax1.grid (true)
   ax1.plot (x, y, 'k.', Markersize = 2)
  
   # 단위 원을 추가하십시오
   circle = plt.circle ((0, 0), 1, fill = false, color = 'red', linewidth = 2)
   ax1.add_artist (원)
   ax1.set_xlim (-3, 3)
   ax1.set_ylim (-3, 3)
   ax1.set_aspect ( '동일')
  
   # 변환 된 그리드
   ax2.set_title ( '변형 된 공간')
   ax2.set_xlabel ( 'u')
   ax2.set_ylabel ( 'V')
   ax2.grid (true)
   ax2.plot (u, v, 'k.', 마커 크기 = 2)
  
   # 단위 원의 변환을 계산합니다
   theta = np.linspace (0, 2*np.pi, 100)
   x_circle = np.cos (theta)
   y_circle = np.sin (theta)
   u_circle = x_circle ** 2 -y_circle
   v_circle = 2*x_circle*y_circle
   ax2.plot (u_circle, v_circle, 'r-', linewidth = 2)
  
   # 지점에서 로컬 선형 근사치 표시 (1, 0)
   point = np.array ([1, 0])
   J = Numerical_Jacobian (F, Point)
  
   # Jacobian이 우리 시점에서 작은 원을 어떻게 변형시키는 지 계산
   스케일 = 0.5
   transformed_points = []
   Theta의 t의 경우 :
       델타 = 스케일 * np.array ([np.cos (t), np.sin (t)])
       transformed_delta = j @ delta
       transformed_points.append (transformed_delta)
  
   transformed_points = np.array (transformed_points)
  
   # 근사치를 플로팅하십시오
   base_point_transformed = f (point)
   ax2.plot (base_point_transformed [0] transformed_points [:, 0],
            base_point_transformed [1] transformed_points [:, 1],
            'g-', linewidth = 2, label = '선형 근사법')
  
   ax2.legend ()
   plt.tight_layout ()
   plt.show ()


# 함수를 실행합니다
Symbolic_result = Symbolic_Jacobian ()
point = np.array ([2.0, 3.0])
Numerical_result = Numerical_Jacobian (F, Point)


print ( "\ numerical Jacobian at Point (2, 3) :")
print (numerical_result)


# 변환을 시각화합니다
Visualize_transformation ()

산출:

출력 검토 :

비선형 매핑 f (x, y) = (x²-y, 2xy)가 제안되고 Jacobian 특성이 강조 표시됩니다. 원래 공간은 균일 한 그리드와 단위 원으로 왼쪽에 표시되며 오른쪽 맵은 원이 그림 8로 변형 된 변형 후 공간을 보여줍니다.

Jacobian 매트릭스는 상징적으로 ([[2x, -1], [2y, 2*x]]) 및 수치 지점 (2,3)에서 계산됩니다. 22와 같은 결정 요인을 보여줍니다. 이것은 지역적으로 큰 영역을 의미합니다. 따라서이 분석은 변환이 영역을 왜곡하는 방법에 대한 수학적 견해를 제공합니다. 선형화 (녹색 곡선)는이 비선형 매핑의 국부 구조를 나타냅니다.

자코비아 매트릭스의 응용

최신 ML 프레임 워크에는 우리를 위해 Jacobian 매트릭스를 계산하는 자동 차별화 도구가 포함되어 있습니다. 이것은 다음과 같은 복잡한 응용 프로그램을위한 게임 체인저입니다.

1. 로봇 암에 의한 속도 제어
2. 동적 시스템의 안정성 분석 :
3. 뱀 로봇 장애물 탐색 :
4. 조작기에 대한 모션 계획 :
5. 로봇 공학의 힘 토크 변형 :

결론

미적분학, 차동 기하학 및 선형 대수는 야곱의 매트릭스가 함께 연결되어 실제 응용 프로그램에 적용되는 수학의 분야입니다. 고급 수술 로봇에서 GPS 위치에 이르기까지 Jacobian은 기술을보다 반응적이고 선천적으로 만드는 데 큰 역할을합니다. 수학이 우리의 우주를 묘사하고보다 효과적이고 효율적으로 상호 작용하는 데 도움이되는 방법의 예입니다.

자주 묻는 질문

Q1. Jacobian 결정 요인과 전체 Jacobian 매트릭스를 언제 사용합니까?

A. 결정 요인은 볼륨 변경 및 비전기에 대한 정보를 제공하는 반면 전체 행렬은 방향 정보를 제공합니다. 스케일링 계수와 거꾸로, 그리고 방향이 어떻게 변형되는지 알아야 할 때 전체 매트릭스를 관리 할 때 결정 요인을 사용하십시오.

Q2. 자코비아는 그라디언트와 어떤 관련이 있습니까?

A. 그라디언트는 실제로 자코비아의 특별한 경우입니다! 함수가 하나의 값 (스칼라 필드)을 출력하면 Jacobian은 단일 행입니다. 이는 정확히 해당 기능의 기울기입니다.

Q3. 자코비아를 계산할 수없는 경우가 있습니까?

A. 예! 당신의 기능이 어느 시점에서 차별화되지 않으면 Jacobian은 정의되지 않습니다. 이것은 당신의 기능의 코너, 교두 또는 불연속에서 발생합니다.

Q4. Jacobian은 좌표 변환에 어떻게 사용됩니까?

A. 좌표계를 바꿀 때 (직교에서 극지로) Jacobian은 시스템 간 영역이나 볼륨이 어떻게 변형되는지 결정합니다. 이것은 다른 좌표계에서 적분을 올바르게 계산하기 위해 다변량 미적분학에 필수적입니다.

Q5. 수치 오류는 실제로 야곱의 계산에 어떤 영향을 미칩니 까?

A. 자코비아의 수치 근사치는 라운드 오프 오류 및 잘린 오류로 어려움을 겪을 수 있습니다. 로봇 또는 재무 모델링과 같은 중요한 응용 분야에서 자동 차별화와 같은 정교한 기술은 종종 이러한 오류를 최소화하는 데 사용됩니다.

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