正規方程式を使用して線形回帰を実装するための方法と前提条件

正規方程式は、線形回帰のためのシンプルで直感的な方法です。最適な直線は、反復アルゴリズムを使用せずに数式を通じて直接計算されます。この方法は、小規模なデータセットに特に適しています。

まず、線形回帰の基本原理を確認しましょう。線形回帰は、従属変数 Y と 1 つ以上の独立変数 X の間の関係を予測するために使用される方法です。単回帰では独立変数 X は 1 つだけですが、重回帰では 2 つ以上の独立変数が含まれます。

線形回帰では、最小二乗法を使用して直線を近似し、データ ポイントから直線までの距離の合計を最小化します。直線の方程式は次のとおりです:

Y=β0 β1X1 β2X2 … βnXn

方程式の目的は、最良の切片を見つけることです。データに最もよく適合する回帰係数 を求めます。

次に、正規方程式を使用して最適な β0 ～ βn を計算する方法を見てみましょう。正規方程式の基本的な考え方は、連立一次方程式を解くことで最適な回帰係数を得ることができるというものです。

この連立一次方程式の形式は次のとおりです:

(XT X)β=XT Y

このうち、X は独立変数の行列、Y は従属変数のベクトル、XT は X の転置、β は回帰係数のベクトルです。この連立方程式では、β を解く必要があります。

次に、この方程式系を解ける形式に変換する必要があります。このステップは、方程式系の両辺に (XT) の逆行列を乗算することで実行できます。このようにして、連立方程式は正規化されますが、この方程式の中心的な考え方は、連立一次方程式を解くことによって最適な回帰係数を取得することです。この方程式系の形式は (XT X)β=XT Y です。ここで、X は独立変数の行列、Y は従属変数のベクトル、XT は次の転置です。方程式系の両辺に (XT) の逆行列を乗算することで β を解くことができます。この方法は非常にシンプルで理解しやすく、小規模なデータセットに適しています。ただし、正規方程式の計算量は O(n^3) であるため、この方法は大規模なデータセットを扱う場合には適さない可能性があることに注意してください。

正規方程式の利点は、反復アルゴリズムを使用せずに最適な回帰係数を直接計算できることです。また、この手法の解は一意であるため、局所最適解が複数存在する問題はありません。

ただし、正規方程式にはいくつかの欠点もあります。まず、(XT X) の逆行列を計算する必要があるため、数値安定性の問題が発生する可能性があります。マトリックス (XTさらに、計算量が O(n^3) の正規方程式は、大規模なデータセットを扱う場合に非常に遅くなる可能性があるため、この場合には反復アルゴリズムの方が適している可能性があります。

#線形回帰に正規方程式を使用する場合は、次の条件も満たす必要があります:

1. 線形関係

正規方程式は、線形関係を持つデータにのみ適用できます。つまり、従属変数と独立変数の間の関係は線形でなければなりません。データが線形関係を満たさない場合、正規方程式は適切な適合モデルを取得できません。

2. 多重共線性なし

多重共線性とは、独立変数間に高度な相関がある状況を指します。多重共線性が存在する場合、正規方程式では正確なフィッティング モデルが得られない可能性があります。実際のアプリケーションでは、独立変数間の相関係数を計算することで多重共線性をチェックできます。

3. データの独立性

形式式では、データが独立していること、つまり、それぞれのデータ間に相関関係がないことが必要です。サンプル。データが独立していない場合、正規方程式は偏ったモデルの適合をもたらす可能性があります。

4. 分散の均一性

分散の均一性とは、従属変数の分散が、変数のさまざまな値の下で等しいままであることを意味します。独立変数。分散が均一でない場合、正規方程式によってモデルが不正確に適合される可能性があります。実際のアプリケーションでは、残差をプロットすることで分散の均一性をチェックできます。

5. 誤差は正規分布に従う

正規方程式では、誤差が正規分布に従うこと、つまり残差誤差が要求されます。ランダムであり、正規分布のプロパティと一致している必要があります。誤差が正規分布していない場合、正規方程式によりモデルが不正確に適合される可能性があります。

上記の条件は互いに独立しているわけではなく、相互に影響を与える可能性があることに注意してください。実際のアプリケーションでは、これらの条件を総合的に考慮し、データの特性に基づいて適切な回帰モデルを選択する必要があります。データが正規方程式の条件を満たさない場合は、リッジ回帰、ラッソ回帰などの他の回帰手法の使用を検討できます。

要約すると、正規方程式は、小規模なデータセットに適したシンプルで理解しやすい線形回帰手法です。ただし、大規模なデータ セットを扱う場合は、計算の複雑さの問題に注意し、他の方法の使用を検討する必要があります。

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