単変量線形回帰

一変量線形回帰は、回帰問題を解決するために使用される教師あり学習アルゴリズムです。直線を使用して特定のデータセット内のデータ ポイントを近似し、このモデルを使用してデータセットにない値を予測します。

一変量線形回帰の原理

一変量線形回帰の原理は、独立変数と従属変数の間の関係を次のように利用することです。直線を当てはめてそれらの間の関係を説明します。最小二乗法などの手法により、すべてのデータ点からこのフィッティング直線までの垂直距離の二乗和を最小化することで回帰直線のパラメータを求め、新しいデータ点の従属変数の値を予測します。 。

一変量線形回帰モデルの一般的な形式は y=ax b です。ここで、a は傾き、b は切片です。最小二乗法により、a と b の推定値を取得して、実際のデータ点と近似された直線の間のギャップを最小限に抑えることができます。

単変量線形回帰には、高速な演算速度、強力な解釈可能性、およびデータセット内の線形関係の発見に優れているという利点があります。ただし、データが非線形である場合、または特徴間に相関がある場合、一変量線形回帰では複雑なデータを適切にモデル化および表現できない場合があります。

簡単に言えば、一変量線形回帰は、独立変数が 1 つだけある線形回帰モデルです。

一変量線形回帰の長所と短所

一変量線形回帰の利点は次のとおりです:

## 高速な演算速度: アルゴリズムがシンプルで数学的原理に準拠しているため、一変量線形回帰アルゴリズムのモデリングと予測の速度は非常に高速です。
• 非常に解釈しやすい: 最終的に数学的な関数式が得られ、計算された係数に基づいて各変数の影響を明らかにできます。
• データセット内の線形関係を取得するのが得意です。

一変量線形回帰の欠点は次のとおりです。

非線形データの場合、またはデータ特徴間に相関がある場合、単変量線形回帰はモデル化が難しい場合があります。
• 非常に複雑なデータをうまく表現するのは困難です。

一変量線形回帰では、二乗誤差損失関数はどのように計算されますか?

一変量線形回帰では、通常、二乗誤差損失関数を使用してモデルの予測誤差を測定します。

二乗誤差損失関数の計算式は次のとおりです。

L(θ0,θ1)=12n∑i=1n(y_i− (θ0 θ1x_i))2

ここで:

n はサンプル数です。
• y_i はサンプル数です。 i 番目のサンプル 実際の値
• θ0 と θ1 はモデルパラメータ
• x_i は i 番目のサンプルの独立変数値

一変量線形回帰では、y と x の間に線形関係がある、つまり y=θ0 θ1x であると仮定します。したがって、独立変数 x をモデルに代入することで予測値を求めることができます。つまり、y_pred=θ0 θ1x_i となります。

損失関数 L の値が小さいほど、モデルの予測誤差が小さくなり、モデルのパフォーマンスが向上します。したがって、損失関数を最小化することで最適なモデル パラメーターを取得できます。

勾配降下法では、パラメータの値を繰り返し更新することで徐々に最適解に近づきます。各反復で、パラメータの値は損失関数の勾配に従って更新されます。つまり、

θ=θ-α*∂L(θ0,θ1)/∂ θ

このうち、α は学習率であり、各反復におけるパラメータの変化を制御します。

勾配降下法を使用した一変量線形回帰の条件と手順

勾配降下法を使用して一変量線形回帰を実行するための条件は次のとおりです。

#1) 目的関数は微分可能です。単変量線形回帰では、損失関数は通常、微分可能な関数である二乗誤差損失を使用します。

2) グローバル最小値があります。二乗誤差損失関数にはグローバル最小値があり、これは勾配降下法を使用した単変量線形回帰の条件でもあります。

勾配降下法を使用して一変量線形回帰を実行する手順は次のとおりです:

1. パラメーターを初期化します。パラメータの初期値として、初期値 (通常は 0) を選択します。

2. 損失関数の勾配を計算します。損失関数とパラメータとの関係に従って、パラメータに対する損失関数の勾配が計算されます。単変量線形回帰では、損失関数は通常、二乗誤差損失であり、その勾配計算式は θ−y(x)x です。

#3. パラメータを更新します。勾配降下法アルゴリズムに従って、パラメーターの値、つまり θ=θ−αθ−y(x)x を更新します。このうち、α は学習率 (ステップ サイズ) であり、各反復におけるパラメーターの変更を制御します。

4. 停止条件が満たされるまで手順 2 と 3 を繰り返します。停止条件は、反復回数が事前設定値に達すること、損失関数の値が事前設定閾値未満であること、またはその他の適切な条件とすることができます。

上記の手順は、勾配降下法を使用して単変量線形回帰を実行する基本プロセスです。勾配降下法アルゴリズムにおける学習率の選択は、アルゴリズムの収束速度と結果の品質に影響するため、特定の状況に応じて調整する必要があることに注意してください。

以上が単変量線形回帰の詳細内容です。詳細については、PHP 中国語 Web サイトの他の関連記事を参照してください。