MATLAB のバックスラッシュ演算子 (\\) はどのように一次方程式を解くのでしょうか?

MATLAB の mldivide 演算子が一次方程式を解く方法

MATLAB の mldivide 演算子は、バックスラッシュ演算子 "" とも呼ばれ、計算のための多用途ツールです。行列形式で表現された線形システムの解。これには、効率と数値安定性を確保するために、さまざまなタイプの入力行列を処理するためのさまざまなアルゴリズムが含まれています。

非正方行列のアルゴリズム選択:

非正方行列の場合、バックスラッシュ演算子は、QR 分解を使用して解を決定します。 QR 分解は、行列 A を直交ベクトル Q と上三角行列 R に因数分解します。その後、上三角系 R (Q' * b) を解くことで解 x が得られます。

正方形のアルゴリズム選択行列:

正方行列の場合、mldivide は行列を診断し、それに基づいて適切なアルゴリズムを選択します。その特性について:

• 三角行列 (下位または上位): 前方置換または後方置換が直接実行されます。
• 対称正定行列: コレスキー分解はより高速かつ安定した目的で使用されます
• 一般的な正方行列: LU 分解は、前方置換と後方置換の組み合わせに使用されます。

特殊なケース:

• A が単数または長方形の場合、擬似逆行列(pinv) メソッドは最小ノルム最小二乗解に使用できます。
• 疎行列の場合、MATLAB は反復ソルバーと UMFPACK などの外部ライブラリを利用します。
• GPU での計算の場合、mldivide は cuBLAS を利用します。
• 分散アレイの場合、 ScaLAPACK は、分散コンピューティング環境で線形システムを解くために使用されます。

mldivide の実装:

mldivide の機能全体をカスタム行列ライブラリに実装すると、次のようになります。重要な取り組み。ただし、基礎となるアルゴリズムを理解し、特定の行列タイプ用の既存のライブラリ (例: 密行列の LAPACK、疎行列の反復ソルバー) を採用することで、線形システム用の合理的に効率的で汎用性の高いソルバーを構築することが可能です。

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