記事の内容に基づいて、いくつかのタイトルのオプションを次に示します。 効率を重視: * 大きな指数に対して (a^b)%MOD を効率的に計算する方法 * (a^b)%MOD 計算の最適化: A Log(b) Ti

大きな指数を使用した (a^b)%MOD の計算

コンピュータ プログラミングにおける、(a^b)%MOD の計算の問題この問題は、数値 'a' を固定定数 'MOD' を法として大きな指数 'b' に累乗したときの剰余を求める必要があるときに発生します。これは、さまざまな暗号アプリケーションや数学的計算で一般的なタスクです。

Log(b) Time Complexity Method

この問題に対する素朴なアプローチは、構築されたC の pow() 関数。乗算アルゴリズムを使用して a の b 乗を計算します。ただし、'b' が大きい場合、この方法は O(b) 時間がかかるため非効率になります。

オイラーの定理

より効率的なアプローチには、オイラーの定理を使用することが含まれます。これは、任意の整数 'a' と素数法 'p' について、a^p mod p = a^(p-1) mod p であることを示しています。拡張すると、これはオイラーの合計関数 φ(MOD) を使用して任意の正の整数 'MOD' に一般化できます。

オイラーの合計関数

オイラーの合計関数は数をカウントします'MOD' と互いに素である、'MOD' 未満の正の整数。 'MOD' の素因数分解を使用して効率的に計算できます。

大きな指数を使用した (a^b)%MOD の計算

オイラーの定理とオイラーの係数の組み合わせ関数を使用すると、大きな指数に対する (a^b)%MOD を効率的に計算できます。

1. 合計関数 φ(MOD) を計算します。
2. 計算 (a ^ φ(MOD)% MOD).
3. Calculate (a ^ (b % φ(MOD)) %MOD).

このアプローチでは、時間計算量が O(log(φ(MOD)) に削減されます。 ) を使用すると、「long long」データ型に収まらない指数を処理できるようになります。

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