Introduction aux réseaux de neurones pilotés par des informations physiques

Le réseau neuronal basé sur l'information physique (PINN) est une méthode qui combine des modèles physiques et des réseaux neuronaux. En intégrant des méthodes physiques dans les réseaux de neurones, PINN peut apprendre le comportement dynamique des systèmes non linéaires. Par rapport aux méthodes traditionnelles basées sur des modèles physiques, PINN offre une flexibilité et une évolutivité plus élevées. Il peut apprendre de manière adaptative des systèmes dynamiques non linéaires complexes tout en répondant aux exigences des spécifications physiques. Cet article présentera les principes de base du PINN et fournira quelques exemples d'applications pratiques.

Le principe de base du PINN est d'intégrer des méthodes physiques dans des réseaux de neurones pour apprendre le comportement dynamique du système. Plus précisément, nous pouvons exprimer la méthode physique sous la forme suivante :

F(u(x),frac{partial u}{partial x},x,t)=0

Notre objectif est de réussir Apprendre l'évolution temporelle du changement d'état du système u(x) et les conditions aux limites autour du système pour parvenir à une compréhension du comportement du système. Pour atteindre cet objectif, nous pouvons utiliser un réseau de neurones pour simuler l’évolution du changement d’état u(x) et utiliser des techniques de différenciation automatique pour calculer le gradient du changement d’état. Dans le même temps, nous pouvons également utiliser des méthodes physiques pour contraindre la relation entre les réseaux de neurones et les changements d’état. De cette façon, nous pouvons mieux comprendre l’évolution de l’état du système et prédire les changements futurs.

Plus précisément, nous pouvons utiliser la fonction de perte suivante pour entraîner PINN :

L_{pinn}=L_{data}+L_{physics}

où L_{data} est la perte de données, utilisée pour simuler des valeurs de changement d'état connues. Généralement, nous pouvons utiliser l'erreur quadratique moyenne pour définir définitivement L_{data} :

L_{data}=frac{1}{N}sum_{i=1}^{N}(u_i-u_{data, i })^2

où $N$ est le nombre d'échantillons dans l'ensemble de données, u_i est la valeur de changement d'état prédite par le réseau neuronal et u_{data,i} est la valeur de changement d'état réel correspondante dans l’ensemble de données.

L_{physics} est la perte de contrainte physique, qui est utilisée pour garantir que le réseau neuronal et les changements d'état satisfont à la méthode physique. Généralement, on peut utiliser le nombre de résidus pour définir définitivement L_{physics} :

L_{physics}=frac{1}{N}sum_{i=1}^{N}(F(u_i,frac{ partial u_i}{partial x},x_i,t_i))^2

où F est la méthode physique, frac{partial u_i}{partial x} est la pente du changement d'état prédit par le réseau neuronal, x_i et t_i sont similaires à ceci Les coordonnées spatiales et temporelles de i.

En minimisant L_{pinn}, nous pouvons simultanément simuler des données et satisfaire des méthodes physiques, apprenant ainsi le comportement dynamique du système.

Regardons maintenant quelques démonstrations réalistes de PINN. Un exemple typique est l'apprentissage du comportement dynamique de la méthode Navier-Stokes. La méthode Navier-Stokes décrit le comportement en mouvement du fluide, qui peut s'écrire sous la forme suivante :

rho(frac{partial u}{partial t}+ucdotnabla u)=-nabla p+munabla^2u+ f

Où rho est la densité du fluide, u est la vitesse du fluide, p est la pression du fluide, mu est la densité du fluide et f est la force externe. Notre objectif est d'apprendre l'évolution temporelle de la vitesse et de la pression du fluide, ainsi que les conditions aux limites à la frontière du fluide.

Pour atteindre cet objectif, nous pouvons intégrer la méthode Navier-Stokes dans le réseau neuronal pour faciliter l'apprentissage de la vitesse et de l'évolution temporelle de la pression. Plus précisément, nous pouvons utiliser la perte suivante pour entraîner PINN :

L_{pinn}=L_{data}+L_{physics}

où les définitions de L_{data} et L_{physics} Comme avant . Nous pouvons utiliser un modèle de dynamique des fluides pour générer un ensemble de données variables d'état comprenant la vitesse et la pression, puis utiliser PINN pour simuler les changements d'état et satisfaire la méthode Navier-Stokes. De cette manière, nous pouvons apprendre le comportement dynamique des fluides, y compris des phénomènes tels que les écoulements humides, les tourbillons et les couches limites, sans déterminer au préalable un modèle physique complexe ni dériver manuellement l'analyse.

Un autre exemple est l'apprentissage du comportement cinématique des méthodes de mouvement ondulatoire non linéaire. La méthode du mouvement ondulatoire non linéaire décrit le comportement de propagation du mouvement ondulatoire dans l'introduction, qui peut s'écrire sous la forme suivante :

frac{partial^2u}{partial t^2}-c^2nabla^2u+f( u) =0

où u est l'amplitude de la vitesse de l'onde, c est la vitesse de l'onde et f(u) est l'élément de qualité non linéaire. Notre objectif est d'apprendre l'évolution temporelle de la dynamique des vagues et des conditions aux limites aux frontières d'introduction.

Pour atteindre cet objectif, nous pouvons intégrer des processus ondulatoires non linéaires dans des réseaux de neurones pour faciliter l'apprentissage de l'évolution historique du mouvement des vagues. Plus précisément, nous pouvons utiliser les nombres de dégâts suivants pour entraîner PINN :

L_{pinn}=L_{data}+L_{physics}

où L_{data} et L_{physics} sont définis comme identiques à au-dessus de. Nous pouvons utiliser des méthodes numériques pour générer un ensemble de données de changement d'état contenant des amplitudes et des pas, puis utiliser PINN pour simuler les changements d'état et satisfaire la méthode des ondes non linéaires. De cette manière, nous pouvons étudier l’évolution temporelle des ondes dans un milieu, y compris des phénomènes tels que les changements de forme, la réfraction et la réflexion des paquets d’ondes, sans définir au préalable des modèles physiques complexes ni en dériver manuellement l’analyse.

En bref, le réseau de neurones basé sur des informations physiques est une méthode qui combine des modèles physiques et des réseaux de neurones, qui peuvent s'adapter à l'apprentissage terrestre de systèmes dynamiques non linéaires complexes tout en maintenant la stricte satisfaction des lois physiques. PINN a été largement utilisé en mécanique des fluides, en acoustique, en mécanique des structures et dans d'autres domaines, et a obtenu des résultats remarquables. À l’avenir, avec le développement continu des réseaux neuronaux et de la technologie différentielle automatisée, PINN deviendra, espérons-le, un outil plus grand, plus puissant et plus polyvalent pour résoudre divers problèmes de dynamique non linéaire.

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