Régression linéaire univariée

La régression linéaire univariée est un algorithme d'apprentissage supervisé utilisé pour résoudre des problèmes de régression. Il ajuste les points de données dans un ensemble de données donné à l'aide d'une ligne droite et utilise ce modèle pour prédire les valeurs qui ne figurent pas dans l'ensemble de données.

Principe de la régression linéaire univariée

Le principe de la régression linéaire univariée consiste à utiliser la relation entre une variable indépendante et une variable dépendante pour décrire la relation entre elles en ajustant une ligne droite. Grâce à des méthodes telles que la méthode des moindres carrés, la somme des carrés des distances verticales de tous les points de données à cette ligne droite d'ajustement est minimisée, obtenant ainsi les paramètres de la droite de régression, puis prédisant la valeur de la variable dépendante du nouveau point de données. .

La forme générale du modèle de régression linéaire univariée est y=ax+b, où a est la pente et b est l'origine. Grâce à la méthode des moindres carrés, des estimations de a et b peuvent être obtenues pour minimiser l'écart entre les points de données réels et la droite ajustée.

La régression linéaire univariée présente les avantages suivants : vitesse de fonctionnement rapide, forte interprétabilité et bonne capacité à découvrir des relations linéaires dans des ensembles de données. Cependant, lorsque les données sont non linéaires ou qu'il existe une corrélation entre les caractéristiques, la régression linéaire univariée peut ne pas modéliser et exprimer correctement les données complexes.

En termes simples, la régression linéaire univariée est un modèle de régression linéaire avec une seule variable indépendante.

Avantages et inconvénients de la régression linéaire univariée

Les avantages de la régression linéaire univariée incluent :

• Vitesse de fonctionnement rapide : parce que l'algorithme est simple et conforme aux principes mathématiques, la modélisation et la prédiction de la régression linéaire univariée algorithme de régression à grande vitesse.
• Forte interprétabilité : Enfin, une expression de fonction mathématique peut être obtenue et l'influence de chaque variable peut être clarifiée sur la base des coefficients calculés.
• Bon pour obtenir des relations linéaires dans des ensembles de données.

Les inconvénients de la régression linéaire univariée comprennent :

• Pour les données non linéaires ou la corrélation entre les caractéristiques des données, la régression linéaire univariée peut être difficile à modéliser.
• Il est difficile de bien exprimer des données très complexes.

En régression linéaire univariée, comment la fonction de perte d'erreur quadratique est-elle calculée ?

Dans la régression linéaire univariée, nous utilisons généralement la fonction de perte d'erreur quadratique pour mesurer l'erreur de prédiction du modèle.

La formule de calcul de la fonction de perte d'erreur quadratique est :

L(θ0,θ1)=12n∑i=1n(y_i−(θ0+θ1x_i))2

où :

• n est le nombre d'échantillons
• y_i est la valeur réelle du i-ème échantillon
• θ0 et θ1 sont les paramètres du modèle
• x_i est la valeur de la variable indépendante du i-ème échantillon

In régression linéaire univariée, nous supposons y Il existe une relation linéaire entre x et y=θ0+θ1x. Par conséquent, la valeur prédite peut être obtenue en substituant la variable indépendante x dans le modèle, c'est-à-dire y_pred=θ0+θ1x_i.

Plus la valeur de la fonction de perte L est petite, plus l'erreur de prédiction du modèle est petite et meilleures sont les performances du modèle. Par conséquent, nous pouvons obtenir les paramètres optimaux du modèle en minimisant la fonction de perte.

Dans la méthode de descente de gradient, on s'approche progressivement de la solution optimale en mettant à jour de manière itérative les valeurs des paramètres. A chaque itération, la valeur du paramètre est mise à jour en fonction du gradient de la fonction de perte, soit :

θ=θ-α*∂L(θ0,θ1)/∂θ

où, α est le taux d'apprentissage, qui contrôle chaque quantité de changement de paramètres au cours des itérations.

Conditions et étapes de la régression linéaire univariée utilisant la méthode de descente de gradient

Les conditions d'utilisation de la méthode de descente de gradient pour effectuer une régression linéaire univariée comprennent :

1) La fonction objectif est différentiable. Dans la régression linéaire univariée, la fonction de perte utilise généralement la perte d'erreur quadratique, qui est une fonction différentiable.

2) Il existe un minimum global. Pour la fonction de perte d'erreur quadratique, il existe un minimum global, qui est également une condition pour la régression linéaire univariée utilisant la descente de gradient.

Les étapes à suivre pour utiliser la méthode de descente de gradient pour effectuer une régression linéaire univariée sont les suivantes :

1. Choisissez une valeur initiale, généralement 0, comme valeur initiale du paramètre.

2. Calculez le gradient de la fonction de perte. En fonction de la relation entre la fonction de perte et les paramètres, le gradient de la fonction de perte par rapport aux paramètres est calculé. Dans la régression linéaire univariée, la fonction de perte est généralement la perte d'erreur quadratique et sa formule de calcul de gradient est : θ−y(x)x.

3. Mettre à jour les paramètres. Selon l'algorithme de descente de gradient, mettre à jour la valeur du paramètre, à savoir : θ=θ−αθ−y(x)x. Parmi eux, α est le taux d'apprentissage (taille du pas), qui contrôle le changement des paramètres à chaque itération.

4. Répétez l'étape 2 et l'étape 3 jusqu'à ce que la condition d'arrêt soit remplie. La condition d'arrêt peut être que le nombre d'itérations atteint une valeur prédéfinie, que la valeur de la fonction de perte est inférieure à un seuil prédéfini, ou d'autres conditions appropriées.

Les étapes ci-dessus constituent le processus de base d'utilisation de la méthode de descente de gradient pour effectuer une régression linéaire univariée. Il convient de noter que le choix du taux d'apprentissage dans l'algorithme de descente de gradient affectera la vitesse de convergence de l'algorithme et la qualité des résultats, il doit donc être ajusté en fonction de la situation spécifique.

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