Définir le bit non défini le plus à gauche

Cet article vise à trouver un moyen de définir le chiffre non défini le plus à gauche d'un nombre donné. Le premier bit non activé après le bit activé le plus significatif est considéré comme le bit non activé le plus à gauche.

Énoncé du problème

Étant donné un nombre n, la tâche consiste à définir le bit le plus à gauche non défini dans l'expansion binaire de ce nombre sur 1. Tous les autres bits doivent rester inchangés. Si tous les bits du numéro d'origine sont définis, le numéro est renvoyé.

Exemples

Input: 46

Output: 62

La traduction chinoise de

Explication

est :

Explication

Expansion binaire de 46 = 101110.

Le bit non défini le plus à gauche est 101110.

En définissant le bit souligné, nous obtenons 111110. Il s'agit de l'expansion binaire de 62.

La réponse est donc 62.

Input: 11

Output: 15

La traduction chinoise de

Explication

est :

Explication

Expansion binaire de 11 = 1011.

Le bit non défini le plus à gauche est 1011.

En changeant le bit souligné, nous obtenons 1111 qui est l'expansion binaire de 15.

Input: 30

Output: 31

La traduction chinoise de

Explication

est :

Explication

Expansion binaire de 30 = 11110.

Le bit non défini le plus à gauche est 11110.

Lors de la définition du bit non défini le plus à gauche, nous obtenons 11111, qui est l'expansion binaire de 31.

Input: 7

Output: 7

La traduction chinoise de

Explication

est :

Explication

Expansion binaire de 7 = 111.

Puisque tous les bits sont définis, il n’y a pas de bit non défini le plus à gauche. La réponse reste donc la même que le numéro d’origine.

Méthode de solution

• Vérifiez si tous les bits sont définis. Si tel est le cas, renvoyez le numéro d’origine comme réponse.

• Trouvez la position du dernier bit non défini à l'aide de l'opérateur ET au niveau du bit et mettez à jour le compteur.

• Réglez les bits pour qu'ils correspondent au compteur.

• Afficher les réponses.

Trouver si tous les bits sont définis

L'idée ici est qu'en ajoutant un bit, le nombre saisi deviendra un carré parfait de 2 si tous ses bits sont définis. Par conséquent, l'expression suivante déterminera si tous les bits du nombre sont définis ou non : n &. (n + 1) == 0;

Comprenons cela à travers un exemple.

Que le nombre soit 5. Nous devons vérifier si tous les bits de 5 sont définis ou non.

La traduction chinoise de est :

n = 3	n + 1 = 4	n & (n+1)
011
011	100	000

Thus it is safe to conclude that all the bits of n are already set and we return the number as it is.

找到最左边未设置的位

如果AND操作的输出不等于零，则继续查找最左边未设置的位。首先生成一个位数与给定整数相等的数字。新数字的最左边位最初设置为1。

然后，我们运行一个循环，从最左边的1位开始，向右搜索第一个0，通过对给定数字和新数字进行位与运算来实现。当位与运算的结果为0时，我们返回第一个未设置的最左边位的位置pos。

To Set the Leftmost Unset Bit

Generate a new number in which only the bit corresponding to pos is set. Perform bitwise OR operation between this new number and the original number.

Algorithm

的中文翻译为：

算法

Function all_bits_set()

• 计算 n & (n + 1)。

• If result == 0, return true.

• 否则返回 false。

Function find_leftmost_unset_bit()

• Initialize m = 1, pos = 0.

• while (n > m)

• 左移 m 1 位

• 将 m 右移 1 位，以使其对应于 n 的最高有效位。

• while ((n & m) != 0)

• 将 m 右移 1 位

• pos++

• 一旦循环中断，我们就可以得到最高有效位（MSB）中最左边未设置的位的位置。

• 返回 log2(n) - pos，即从最低有效位开始的位位置。

函数 set_leftmost_unset_bit()

• 初始化 k = 1

• Function Call find_leftmost_unset_bit().

• k = k

• Compute n | k.

• Update n.

Function main()

• 初始化 n

• Function Call all_bits_set()

• 函数调用 find_leftmost_unset_bit()

• 调用函数set_leftmost_unset_bit()

• 显示 n

示例：C++程序

这个程序通过将输入数字 n 的二进制展开中最左边未设置的位设置为 1 来修改它。它使用位运算符 OR，左移和右移运算符以及位与运算符来实现其目标。

// A C++ program to set the left most unset bit of a number. If all the bits of the given number are already set, it returns the number as it is.
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
// function to check if all bits of the given number are already set
// if all bits of n are set, n + 1 will be a power of 2.
bool all_bits_set(int n){
   if ((n & (n + 1)) == 0)    {
      return true;
   }
   return false;
}

// function to find the position of the leftmost unset bit from the LSB.
int find_leftmost_unset_bit(int n){
   int m = 1, pos = 0;
   while (n > m){
      m = m << 1;
   }
   m = m >> 1; // to make the number of digits in m equal to number of digits in n
   
   // the following loop executes till the first zero is encountered, starting from the msb
   while ((n & m) != 0){
      m = m >> 1;
      pos++;
   }
   
   // since pos is the position of the unset bit from the MSB we return log2(n) - pos which is the location of the leftmost unset bit from the LSB.
   return log2(n) - pos;
}

// function to set the leftmost unset bit from the LSB.
void set_leftmost_unset_bit(int &n){
   int k = 1;
   int pos = find_leftmost_unset_bit(n);
   k = k << (pos); // left shift k by pos
   n = n | k; // to set the leftmost unset bit
}

// main function
int main(){
   int n = 46;
   cout << "Input Number: "<< n << endl;
   if (all_bits_set(n))    {
      cout << n << endl;
      return 0;
   }
   set_leftmost_unset_bit(n);
   cout << "Number after setting the Leftmost Unset Bit: " << n << endl; // display the updated number
   return 0;
}

输出

Input Number: 46
Number after setting the Leftmost Unset Bit: 62

时间和空间分析

时间复杂度：O(log2(n))，因为在函数find_leftmost_unset_bit()中，我们可能需要遍历二进制展开式的所有log2(n)位数来找到最左边的未设置位。

Space Complexity: O(1), as constant space is always used in the implementation.

Conclusion

本文讨论了一种寻找并设置给定数字最左边未设置位的方法。如果数字的所有位已经设置，我们将返回该数字。否则，为了设置该位，我们使用位左移和右移运算符生成一个新的位模式，并使用位或运算符计算结果。解决方案的概念、多个示例、使用的算法、C++程序解决方案以及时间和空间复杂度分析都被详细解释，以便更深入地理解。

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