Explication détaillée de l'algorithme EM en Python

L'algorithme EM est un algorithme couramment utilisé dans l'apprentissage statistique et est largement utilisé dans divers domaines. En tant qu'excellent langage de programmation, Python présente de grands avantages dans la mise en œuvre de l'algorithme EM. Cet article présentera en détail l'algorithme EM en Python.

Tout d’abord, nous devons comprendre ce qu’est l’algorithme EM. L'algorithme EM est appelé algorithme d'espérance-maximisation. Il s'agit d'un algorithme itératif qui est souvent utilisé pour résoudre des problèmes d'estimation de paramètres contenant des variables cachées ou des données manquantes. L'idée de base de l'algorithme EM est de résoudre de manière itérative l'estimation du maximum de vraisemblance des paramètres en estimant en continu les variables cachées non observées ou les données manquantes.

La mise en œuvre de l'algorithme EM en Python peut être divisée en quatre étapes suivantes :

1. E étape

E étape calcule la distribution de probabilité de la variable latente en estimant les données observées et les paramètres actuels. Essentiellement, la tâche de cette étape est de classer les données d'échantillon, de regrouper les données d'observation et d'obtenir la distribution a posteriori des variables latentes. Dans les opérations réelles, vous pouvez utiliser certains algorithmes de clustering, tels que l'algorithme K-means, GMM, etc.

2. Étape M

La tâche de l'étape M est de ré-estimer les paramètres grâce à la classification de niveau E-step. À ce stade, il nous suffit de calculer l’estimation du maximum de vraisemblance des paramètres dans la distribution des données de chaque catégorie et de mettre à jour les paramètres. Ce processus peut être mis en œuvre à l'aide de certains algorithmes d'optimisation, tels que les algorithmes de descente de gradient et de gradient conjugué.

3. Répétez les étapes 1 et 2

Ensuite, nous devons répéter les étapes 1 et 2 jusqu'à ce que les paramètres convergent et obtiennent des paramètres qui satisfont à l'estimation du maximum de vraisemblance. Ce processus est l'étape de solution itérative dans l'algorithme EM.

4. Calculer la valeur de la fonction de vraisemblance

Enfin, nous devons calculer la valeur de la fonction de vraisemblance. En exécutant continuellement l'algorithme EM, les paramètres sont mis à jour afin que les estimations des paramètres maximisent la fonction de vraisemblance. À ce stade, nous pouvons fixer les paramètres, calculer la valeur de la fonction de vraisemblance sur l'ensemble de données actuel et l'utiliser comme fonction objective d'optimisation.

Grâce aux quatre étapes ci-dessus, nous pouvons implémenter l'algorithme EM en Python.

Le code est le suivant :

import numpy as np
import math

class EM:
    def __init__(self, X, k, max_iter=100, eps=1e-6):
        self.X = X
        self.k = k
        self.max_iter = max_iter
        self.eps = eps

    def fit(self):
        n, d = self.X.shape

        # 随机初始化分布概率和均值与协方差矩阵
        weight = np.random.random(self.k)
        weight = weight / weight.sum()
        mean = np.random.rand(self.k, d)
        cov = np.array([np.eye(d)] * self.k)

        llh = 1e-10
        previous_llh = 0

        for i in range(self.max_iter):
            if abs(llh - previous_llh) < self.eps:
                break
            previous_llh = llh

            # 计算隐变量的后验概率，即E步骤
            gamma = np.zeros((n, self.k))
            for j in range(self.k):
                gamma[:,j] = weight[j] * self.__normal_dist(self.X, mean[j], cov[j])
            gamma = gamma / gamma.sum(axis=1, keepdims=True)

            # 更新参数，即M步骤
            Nk = gamma.sum(axis=0)
            weight = Nk / n
            mean = gamma.T @ self.X / Nk.reshape(-1, 1)
            for j in range(self.k):
                x_mu = self.X - mean[j]
                gamma_diag = np.diag(gamma[:,j])
                cov[j] = x_mu.T @ gamma_diag @ x_mu / Nk[j]

            # 计算似然函数值，即求解优化目标函数
            llh = np.log(gamma @ weight).sum()

        return gamma

    def __normal_dist(self, x, mu, cov):
        n = x.shape[1]
        det = np.linalg.det(cov)
        inv = np.linalg.inv(cov)
        norm_const = 1.0 / (math.pow((2*np.pi),float(n)/2) * math.pow(det,1.0/2))
        x_mu = x - mu
        exp_val = math.exp(-0.5 * (x_mu @ inv @ x_mu.T).diagonal())
        return norm_const * exp_val

Où,

X : données d'observation

k : nombre de catégories

max_iter : nombre maximum d'étapes d'itération

eps : seuil de convergence

fonction fit() : estimation des paramètres

__normal_dist( ) : Calculez la fonction de distribution gaussienne multivariée

Grâce au code ci-dessus, nous pouvons facilement implémenter l'algorithme EM en Python.

De plus, l'algorithme EM est également appliqué à divers problèmes d'apprentissage statistique, tels que le regroupement de textes, la segmentation d'images, l'apprentissage semi-supervisé, etc. Sa flexibilité et sa polyvalence en ont fait l’un des algorithmes classiques de l’apprentissage statistique. En particulier pour les problèmes tels que les données manquantes et les données bruyantes, l'algorithme EM peut être traité en estimant des variables latentes, ce qui améliore la robustesse de l'algorithme.

En bref, Python est de plus en plus largement utilisé dans l'apprentissage statistique, et une plus grande attention devrait être accordée à l'implémentation du code et à la formation des modèles de ces algorithmes classiques. En tant qu'algorithme important, l'algorithme EM dispose également d'une bonne implémentation d'optimisation en Python. Que vous appreniez Python ou la modélisation d’apprentissage statistique, maîtriser l’implémentation de l’algorithme EM est un besoin urgent.

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