动态规划是解决01背包问题最可靠的方法，通过清晰的状态定义（一维dp[j]或二维dpi）、正确的状态转移方程（拿或不拿的最大值）、倒序遍历（一维）或正序遍历（二维）、以及自然的边界初始化（容量或物品为0时价值为0）来确保正确性。
动态规划是解决01背包问题最可靠的方法，它不靠猜测、不靠贪心，而是通过系统填表，把每个子问题的最优解稳稳存下来，最终推出全局最优解。关键不在代码多复杂，而在状态定义是否清晰、转移逻辑是否闭环、遍历顺序是否正确。
明确 dp 数组的实际含义
这是动规第一步，也是最容易出错的地方。对01背包来说，推荐两种常用定义方式：
- 一维数组 dp[j]：表示容量为 j 的背包能装下的最大价值。简洁高效，空间复杂度 O(W)。
- 二维数组 dp[i][j]：表示前 i 个物品、在容量不超过 j 的前提下能获得的最大价值。语义更直观，适合初学理解，空间复杂度 O(n×W)。
无论选哪种，dp 的下标必须和现实意义严格对应——比如 dp[5] 就是“背包刚好/最多装5单位时的价值”，不能模糊成“大概能装5左右”。
写出准确的状态转移方程
核心逻辑就一句话：面对第 i 个物品，你只有两个选择——拿，或者不拿。
- 不拿：价值继承上一轮，即 dp[i-1][j] 或 dp[j]（保持不变）；
- 拿（前提是 w[i] ≤ j）：腾出 w[i] 容量，加上当前物品价值，即 dp[i-1][j−w[i]] + v[i] 或 dp[j−w[i]] + v[i]；
- 最终取两者较大值：dp[i][j] = max(dp[i−1][j], dp[i−1][j−w[i]] + v[i])。
注意：这个“拿”的前提是容量够——如果 w[i] > j，那就只能不拿，直接复制上一行值。
Java JDK 25
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Java JDK 25 来自 OpenJDK 官方归档，版本为 JDK 25，本条下载地址已指向官方 Windows x64 zip 安装包直链，适合调试旧项目或兼容旧版 Java 运行环境。
控制好遍历顺序与方向
顺序错了，结果就全错。关键有两点：
- 外层遍历物品：从第 1 个到第 n 个，确保每个物品只考虑一次；
- 内层遍历容量要倒序（仅限一维优化）：从 W 到 w[i]，防止同一个物品被重复使用（这是一维写法避免“完全背包”错误的关键）；
- 二维写法则正序即可，因为 dp[i][j] 只依赖上一行数据，天然隔离。
举例：重量数组为 [2,3,4]，背包容量 5。若内层正序遍历 j=2→5，当处理完 j=2 后，j=4 会误用刚更新的 dp[2]，导致物品被多次选取。
初始化与边界处理要自然
不需要强行“设初值”，而是让定义本身决定边界：
- 容量为 0 时，无论多少物品，最大价值都是 0 → dp[0] = 0（一维）或 dp[i][0] = 0（二维）；
- 没有物品时，任何容量下价值也为 0 → dp[0][j] = 0（二维），一维中这一行天然隐含；
- 实际编码中，int[] dp = new int[W+1] 默认全为 0，已满足要求，无需额外循环赋 0。
真正要检查的是每次访问 dp[j−w[i]] 前是否越界——加个 if (j >= w[i]) 判断，比 try-catch 更干净利落。
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