三角形数是能表示为前k个自然数之和的正整数，即n = k(k+1)/2；判定方法为计算k = (−1 + √(1 + 8n))/2，若k为正整数则n是三角形数，需用round取整并验证平方以避免浮点误差。
什么是三角形数？先看判定公式
一个正整数 n 是三角形数，当且仅当存在某个正整数 k，使得 n = k * (k + 1) / 2。这个公式来自前 k 个自然数之和。直接解这个方程，可得：k = (-1 + sqrt(1 + 8 * n)) / 2。所以判断逻辑就变成：算出这个 k，再验证它是否为正整数。
注意浮点精度问题——sqrt 返回的是 double，直接取整可能出错。稳妥做法是：计算 root = sqrt(1 + 8 * n)，检查 root 是否接近整数（比如 abs(root - round(root)) ），再验证 <code>(long long)round(root) 是否为奇数（因为 1 + 8n 必须是完全平方数，且该平方根必须是奇数，才能保证 k 为整数）。
用 sqrt 判定的实操写法
推荐使用 std::sqrt 配合整型校验，避免循环。关键不是“算得快”，而是“不漏判、不错判”：
- 先转成
long long防溢出（n较大时，8 * n可能溢出int） - 计算
disc = 1LL + 8LL * n，再调用std::sqrt(disc) - 取最接近的整数
root = static_cast<long long>(std::round(std::sqrt(disc)))</long> - 验证两个条件：
root * root == disc且(root & 1)（即root是奇数）
示例：isTriangular(10) → disc = 81 → root = 9 → 9*9==81 && (9&1)==true → 是三角形数（k=4）。
迭代法为什么通常不推荐？
从 k = 1 开始累加 k*(k+1)/2 直到 ≥ n，逻辑直观但有明显短板：
- 时间复杂度
O(sqrt(n))，对n = 1e12要循环约1.4e6次，而公式法是O(1) - 容易因整型溢出出错：计算
k*(k+1)/2时，若用int，k超过 46340 就溢出 - 边界处理易错：比如
n = 1时，k应从 1 开始，但循环终止条件写成sum 会漏掉相等情况
除非你明确知道 n 总是很小（比如 ），否则没必要用迭代。
实际编码中容易踩的坑
公式法看着简单，但 C++ 实现时几个细节常导致误判：
-
std::sqrt对long long参数无重载，必须先转成double或long double——但double对大于2^53的整数无法精确表示，所以n > ~1e13时，disc的平方根可能被四舍五入错 - 不要用
floor(sqrt(x))然后验证平方，应统一用round再平方比对，否则sqrt(9999999999999999)可能返回略小于真实值的浮点数 - 忘记检查
root是否为奇数：例如n = 15→disc = 121→root = 11（奇数，ok）；但若误用偶数根（如人为构造错误），k就不是整数
超过 1e15 的输入，建议改用整数开方（如二分查找求 sqrt(disc)），否则浮点误差不可控。
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