C++如何判断一个正整数是否为三角数 (数学判定公式法)-C++-PHP中文网

不能直接用 sqrt(disc) == round(sqrt(disc)) 判断，因 double 无法精确表示大于 2⁵³ 的整数，导致浮点误差使 round 结果错误；正确做法是用 llround 得近似根 r0，再在 {r0−1, r0, r0+1} 中验证 r*r==disc。

c++如何判断一个正整数是否为三角数 (数学判定公式法)

为什么不能直接用 sqrt(disc) == round(sqrt(disc)) 判断

因为 std::sqrt 返回 double，而 double 对大于 2⁵³（约 9e15）的整数无法精确表示——哪怕 disc 是完全平方数，sqrt 也可能返回 999999.999999 或 1000000.000001，round 后转 long long 仍可能错。更糟的是，static_cast<long long>(std::sqrt(x))</long> 默认截断，不是四舍五入，极易漏判。

错误写法：long long r = sqrt(disc); return r * r == disc;
正确思路：先算近似根 r0 = llround(sqrt(disc))，再在 {r0-1, r0, r0+1} 中暴力验证哪个满足 r * r == disc
这个 ±1 范围足够：浮点误差不会让真实整数根偏离估算值超过 1

判别式 disc = 1 + 8 * x 必须用 long long 计算

哪怕输入是 int，8 * x 也可能溢出：INT_MAX 是 2147483647，8 倍后约 1.7e10，已超出 int 范围（最大约 2.1e9），直接计算会触发未定义行为。

必须写成 long long disc = 1LL + 8LL * x; 或强制转型：1LL + 8LL * static_cast<long long>(x)</long>
如果 x 是 unsigned int 或更大类型（如 uint64_t），disc 需对应升级为 unsigned long long，且 sqrt 应换用 std::sqrtl 避免精度丢失
disc 本身不能为负——所以函数开头必须先 if (x

验证根 r 后还要检查 (r - 1) % 2 == 0 且 (r - 1) / 2 > 0

解二次方程得 n = (-1 + r) / 2，其中 r = sqrt(1 + 8x)。仅 r * r == disc 不足以保证 n 是正整数——比如 x = 10 时 disc = 81，r = 9，(9 - 1) / 2 = 4 成立；但若误取 r = 1（虽不满足 r * r == disc），(1 - 1) / 2 = 0 就不是正整数。

C++14

C++14 对 C++11 的修正与增强版本，适合旧系统维护和较老工具链兼容。

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(r - 1) % 2 == 0 确保能整除，避免 n 为半整数
(r - 1) / 2 > 0 确保 n ≥ 1，排除 x = 0（T₀ = 0 通常不算三角数）
这两个条件缺一不可：漏掉 % 2 检查，x = 2（disc = 17 非平方数，本不该过，但若误判 r=5 则 (5-1)/2=2 会错报 true）

完整可移植实现（支持 int 和 long long 输入）

以下函数处理了溢出、浮点误差、边界值三类问题，无分支预测干扰，单次 sqrt 调用：

bool isTriangular(long long x) {
    if (x (disc)));
    for (long long r = r0 - 1; r = 0 && r * r == disc) {
            return (r - 1) % 2 == 0 && (r - 1) / 2 > 0;
        }
    }
    return false;
}

真正容易被忽略的是：disc 的整数平方性只是必要条件，n 是否为正整数才是判定终点——所有校验必须串行执行，少一步就可能把 2、4、5 这类非三角数错判为真。