堆物理上是数组、逻辑上是完全二叉树；下标公式0起始时左孩子=2×parent+1、右孩子=2×parent+2、父节点=(child−1)/2，源于层序编号的数学推导，是建堆与调整的理论基础。

堆在物理上是数组，逻辑上是完全二叉树；下标映射公式不是凭空记忆的规则，而是由层序遍历的编号方式自然导出的数学关系。掌握它，才能真正理解建堆、调整、排序每一步为何那样写。

为什么下标从 0 开始时，左孩子是 2×parent + 1？

完全二叉树按层序遍历编号：根为 0，第二层从左到右是 1、2，第三层是 3、4、5、6……观察每一层起始下标：

• 第 0 层（根）：1 个节点，起始下标 = 0
• 第 1 层：2 个节点，起始下标 = 1 = 2⁰
• 第 2 层：4 个节点，起始下标 = 3 = 2⁰ + 2¹
• 第 h 层起始下标 = 2⁰ + 2¹ + … + 2^h−1 = 2^h − 1

而 parent 所在层为 h，则其左孩子必在第 h+1 层，且是该层第一个子节点——即 parent 的左孩子在层内偏移为 0，对应下标为：
2^h+1 − 1 + 0 = 2×(2^h − 1) + 1 = 2×parent + 1
同理，右孩子偏移为 1 → 下标 = 2×parent + 2。

父节点下标为什么是 (child − 1) / 2？

设 child 下标为 c，它一定有唯一父节点 p。根据上式，c 要么是 2p+1（左），要么是 2p+2（右）。

• 若 c = 2p + 1 → p = (c − 1)/2
• 若 c = 2p + 2 → p = (c − 2)/2 = (c − 1)/2（整数除法向下取整，因 c 为偶数时 c−1 是奇数，(c−1)/2 仍得正确整数结果）

所以统一写作：p = (c − 1) / 2（整除，C/Java/Python 中对非负整数自动向下取整）。

下标从 1 开始时公式为何不同？

若根节点放在下标 1，层序编号变为：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…

• 第 h 层起始下标 = 2^h−1
• parent = i → 左孩子在第 h+1 层第 (i − 2^h−1 + 1) × 2 个位置 → 推得 left = 2i，right = 2i + 1
• 反推：child = i → parent = i / 2（整除）

两种约定都合理，但工业代码（如 C++ STL、Java PriorityQueue）和多数教材默认下标从 0 开始，因此 2i+1 / 2i+2 / (i−1)/2 是必须熟记的标准映射。

最后一个非叶子节点下标为什么是 (n − 2) / 2？

n 个节点的完全二叉树，叶子节点集中在最后一层及倒数第二层右侧。最后一个有孩子的节点，一定是最后一个叶子节点的父节点。

• 最后一个节点下标是 n−1
• 它的父节点就是 (n−1 − 1) / 2 = (n−2) / 2
• 这个节点之后的所有下标（包括它自己）都不再有左孩子（否则总节点数会超 n）

所以建堆时，只需从下标 (n−2)/2 开始向前做向下调整——这是自底向上修复堆性质的起点。