Methoden und Voraussetzungen zur Implementierung der linearen Regression unter Verwendung normaler Gleichungen

Normale Gleichungen sind eine einfache und intuitive Methode zur linearen Regression. Die am besten passende Gerade wird direkt durch mathematische Formeln berechnet, ohne dass iterative Algorithmen verwendet werden. Diese Methode eignet sich besonders für kleine Datensätze.

Lassen Sie uns zunächst die Grundprinzipien der linearen Regression überprüfen. Die lineare Regression ist eine Methode zur Vorhersage der Beziehung zwischen einer abhängigen Variablen Y und einer oder mehreren unabhängigen Variablen X. In der einfachen linearen Regression gibt es nur eine unabhängige Variable X, während in der multiplen linearen Regression zwei oder mehr unabhängige Variablen enthalten sind.

Bei der linearen Regression verwenden wir die Methode der kleinsten Quadrate, um eine gerade Linie anzupassen und die Summe der Abstände von Datenpunkten zur geraden Linie zu minimieren. Die Gleichung der Geraden lautet:

Y=β0+β1X1+β2X2+…+βnXn

Das Ziel der Gleichung besteht darin, den optimalen Achsenabschnitt und Regressionskoeffizienten zu finden, damit er am besten zu den Daten passt.

Jetzt wollen wir sehen, wie man die Normalgleichung verwendet, um das optimale β0 bis βn zu berechnen. Die Grundidee normaler Gleichungen besteht darin, dass wir die optimalen Regressionskoeffizienten erhalten können, indem wir ein System linearer Gleichungen lösen.

Die Form dieses linearen Gleichungssystems ist wie folgt:

(XT , β ist der Vektor der Regressionskoeffizienten. In diesem Gleichungssystem müssen wir nach β auflösen.

Als nächstes müssen wir dieses Gleichungssystem in eine lösbare Form umwandeln. Wir können diesen Schritt erreichen, indem wir beide Seiten des Gleichungssystems mit der inversen Matrix von (XT) multiplizieren. Auf diese Weise wird das Gleichungssystem normal. Die Kernidee der Gleichung besteht darin, den optimalen Regressionskoeffizienten durch Lösen eines linearen Gleichungssystems zu erhalten. Die Form dieses Gleichungssystems ist (XT X)β=XT Y, wobei X die Matrix unabhängiger Variablen, Y der Vektor abhängiger Variablen und XT die Transponierte davon ist Wir können nach β auflösen, indem wir beide Seiten des Gleichungssystems mit der inversen Matrix von (XT) multiplizieren. Diese Methode ist sehr einfach und leicht zu verstehen und eignet sich gut für kleine Datensätze. Es ist jedoch zu beachten, dass die Rechenkomplexität der Normalgleichung O(n^3) beträgt, sodass diese Methode möglicherweise nicht für die Verarbeitung großer Datensätze geeignet ist.

Der Vorteil der Normalgleichung besteht darin, dass sie den optimalen Regressionskoeffizienten direkt berechnen kann, ohne einen iterativen Algorithmus zu verwenden. Darüber hinaus ist die Lösung dieser Methode eindeutig, sodass es kein Problem mehrerer lokal optimaler Lösungen gibt.

Allerdings haben normale Gleichungen auch einige Nachteile. Zunächst muss die inverse Matrix von (XT) berechnet werden Wenn die Matrix (XT Darüber hinaus können die Normalgleichungen mit der Rechenkomplexität O(n^3) bei der Verarbeitung großer Datensätze sehr langsam werden, sodass iterative Algorithmen für diesen Fall möglicherweise besser geeignet sind.

Bei der Verwendung normaler Gleichungen für die lineare Regression müssen die folgenden Bedingungen erfüllt sein:

1. Lineare Beziehung

Normale Gleichungen gelten nur für Daten mit linearen Beziehungen, d. h. zwischen abhängigen Variablen und Unabhängige Variablen. Die Beziehung muss linear sein. Wenn die Daten keine lineare Beziehung erfüllen, kann die Normalgleichung kein gut passendes Modell erhalten.

2. Keine Multikollinearität

Multikollinearität bezieht sich auf die Situation, in der ein hoher Grad an Korrelation zwischen unabhängigen Variablen besteht. Wenn Multikollinearität vorliegt, führt die Normalengleichung möglicherweise nicht zu einem genau passenden Modell. In praktischen Anwendungen kann die Multikollinearität durch die Berechnung der Korrelationskoeffizienten zwischen unabhängigen Variablen überprüft werden.

3. Datenunabhängigkeit

Die normale Gleichung erfordert, dass die Daten unabhängig sind, das heißt, es besteht keine Korrelation zwischen den Daten zwischen den einzelnen Stichproben. Wenn die Daten nicht unabhängig sind, kann die Normalgleichung zu einer verzerrten Modellanpassung führen.

4. Homogenität der Varianzen

Homogenität der Varianzen bedeutet, dass die Varianz der abhängigen Variablen unter verschiedenen Werten der unabhängigen Variablen gleich bleiben sollte. Wenn die Varianzen nicht homogen sind, kann die Normalgleichung zu einem ungenau angepassten Modell führen. In praktischen Anwendungen kann die Homogenität der Varianzen durch Auftragen der Residuen überprüft werden.

5. Der Fehler folgt der Normalverteilung

Die Normalgleichung erfordert, dass der Fehler der Normalverteilung folgt, das heißt, das Residuum sollte zufällig sein und den Eigenschaften der Normalverteilung entsprechen. Wenn die Fehler nicht normalverteilt sind, kann die Normalgleichung zu einem ungenau angepassten Modell führen.

Es ist zu beachten, dass die oben genannten Bedingungen nicht unabhängig voneinander sind und sich gegenseitig beeinflussen können. In praktischen Anwendungen müssen wir diese Bedingungen umfassend berücksichtigen und basierend auf den Eigenschaften der Daten ein geeignetes Regressionsmodell auswählen. Wenn die Daten die Bedingungen der Normalgleichung nicht erfüllen, können Sie die Verwendung anderer Regressionsmethoden wie Ridge-Regression, Lasso-Regression usw. in Betracht ziehen.

Zusammenfassend ist die Normalgleichung eine einfache und leicht verständliche lineare Regressionsmethode, die für kleine Datensätze geeignet ist. Beim Umgang mit großen Datensätzen müssen Sie jedoch auf die Komplexität der Berechnungen achten und den Einsatz anderer Methoden in Betracht ziehen.

Das obige ist der detaillierte Inhalt vonMethoden und Voraussetzungen zur Implementierung der linearen Regression unter Verwendung normaler Gleichungen. Für weitere Informationen folgen Sie bitte anderen verwandten Artikeln auf der PHP chinesischen Website!