Einführung in neuronale Netze, die auf physikalischen Informationen basieren

Physically Information Based Neural Network (PINN) ist eine Methode, die physikalische Modelle und neuronale Netze kombiniert. Durch die Integration physikalischer Methoden in neuronale Netze kann PINN das dynamische Verhalten nichtlinearer Systeme lernen. Im Vergleich zu herkömmlichen physikalischen modellbasierten Methoden weist PINN eine höhere Flexibilität und Skalierbarkeit auf. Es kann komplexe nichtlineare dynamische Systeme adaptiv erlernen und gleichzeitig die Anforderungen physikalischer Spezifikationen erfüllen. In diesem Artikel werden die Grundprinzipien von PINN vorgestellt und einige praktische Anwendungsbeispiele bereitgestellt.

Das Grundprinzip von PINN besteht darin, physikalische Methoden in neuronale Netze zu integrieren, um das dynamische Verhalten des Systems zu lernen. Konkret können wir die physikalische Methode wie folgt ausdrücken:

F(u(x),frac{partial u}{partial x},x,t)=0

Unser Ziel ist es, Learn zu bestehen die zeitliche Entwicklung der Systemzustandsänderung u(x) und die Randbedingungen rund um das System, um ein Verständnis des Systemverhaltens zu erlangen. Um dieses Ziel zu erreichen, können wir mithilfe eines neuronalen Netzwerks die Entwicklung der Zustandsänderung u(x) simulieren und mithilfe automatischer Differenzierungstechniken den Gradienten der Zustandsänderung berechnen. Gleichzeitig können wir auch physikalische Methoden nutzen, um die Beziehung zwischen neuronalen Netzen und Zustandsänderungen einzuschränken. Auf diese Weise können wir die Zustandsentwicklung des Systems besser verstehen und zukünftige Änderungen vorhersagen.

Konkret können wir die folgende Verlustfunktion verwenden, um PINN zu trainieren:

L_{pinn}=L_{Daten}+L_{Physik}

wobei L_{Daten} der verwendete Datenverlust ist zur Simulation bekannter Zustandsänderungswerte. Im Allgemeinen können wir den mittleren quadratischen Fehler verwenden, um L_{data} definitiv zu definieren:

L_{data}=frac{1}{N}sum_{i=1}^{N}(u_i-u_{data, i })^2

wobei $N$ die Anzahl der Stichproben im Datensatz ist, u_i der vom neuronalen Netzwerk vorhergesagte Zustandsänderungswert ist und u_{data,i} der entsprechende reale Zustandsänderungswert in ist Der Datensatz.

L_{Physik} ist der physikalische Einschränkungsverlust, der verwendet wird, um sicherzustellen, dass das neuronale Netzwerk und Zustandsänderungen die physikalische Methode erfüllen. Im Allgemeinen können wir die Anzahl der Residuen verwenden, um L_{Physik} definitiv zu definieren:

L_{Physik}=frac{1}{N}sum_{i=1}^{N}(F(u_i,frac{ partielles u_i}{partielles x},x_i,t_i))^2

wobei F die physikalische Methode ist, frac{partielles u_i}{partielles x} die Steigung der vom neuronalen Netzwerk vorhergesagten Zustandsänderung ist, x_i und t_i ähnelt diesem Die Raum- und Zeitkoordinaten von i.

Durch die Minimierung von L_{pinn} können wir gleichzeitig Daten simulieren und physikalische Methoden erfüllen und so das dynamische Verhalten des Systems lernen.

Schauen wir uns nun einige realistische PINN-Demonstrationen an. Ein typisches Beispiel ist das Erlernen des dynamischen Verhaltens der Navier-Stokes-Methode. Die Navier-Stokes-Methode beschreibt das Bewegungsverhalten der Flüssigkeit, das in der folgenden Form geschrieben werden kann:

rho(frac{partial u}{partial t}+ucdotnabla u)=-nabla p+munabla^2u+ f

Wobei rho die Dichte der Flüssigkeit ist, u die Geschwindigkeit der Flüssigkeit ist, p der Druck der Flüssigkeit ist, mu die Dichte der Flüssigkeit ist und f die äußere Kraft ist. Unser Ziel ist es, die zeitliche Entwicklung der Geschwindigkeit und des Drucks der Flüssigkeit sowie die Randbedingungen an der Flüssigkeitsgrenze zu erfahren.

Um dieses Ziel zu erreichen, können wir die Navier-Stokes-Methode in das neuronale Netzwerk integrieren, um die Lerngeschwindigkeit und die zeitliche Druckentwicklung zu erleichtern. Konkret können wir den folgenden Verlust verwenden, um PINN zu trainieren:

L_{pinn}=L_{data}+L_{physics}

wobei die Definitionen von L_{data} und L_{physics} dieselben wie zuvor sind . Wir können ein Fluiddynamikmodell verwenden, um einen Satz Zustandsvariablendaten einschließlich Geschwindigkeit und Druck zu generieren, und dann PINN verwenden, um Zustandsänderungen zu simulieren und die Navier-Stokes-Methode zu erfüllen. Auf diese Weise können wir das dynamische Verhalten strömender Körper, einschließlich Phänomene wie Nassströmungen, Wirbel und Grenzschichten, lernen, ohne zunächst ein komplexes physikalisches Modell ermitteln oder die Analyse manuell ableiten zu müssen.

Ein weiteres Beispiel ist das Erlernen des kinematischen Verhaltens nichtlinearer Wellenbewegungsmethoden. Die nichtlineare Wellenbewegungsmethode beschreibt in der Einleitung das Ausbreitungsverhalten der Wellenbewegung, das in der folgenden Form geschrieben werden kann:

frac{partial^2u}{partial t^2}-c^2nabla^2u+f( u) =0

wobei u die Amplitude der Wellengeschwindigkeit ist, c die Wellengeschwindigkeit ist und f(u) das Element nichtlinearer Qualität ist. Unser Ziel ist es, die zeitliche Entwicklung der Wellendynamik und Randbedingungen an den Einführungsgrenzen zu erfahren.

Um dieses Ziel zu erreichen, können wir nichtlineare Wellenprozesse in neuronale Netze integrieren, um das Lernen der epochalen Entwicklung der Wellenbewegung zu erleichtern. Konkret können wir die folgenden Schadenszahlen verwenden, um PINN zu trainieren:

L_{pinn}=L_{data}+L_{physics}

wobei L_{data} und L_{physics} als „Gleich wie“ definiert sind über. Wir können numerische Methoden verwenden, um einen Satz von Zustandsänderungsdaten zu generieren, die Amplituden und Schritte enthalten, und dann PINN verwenden, um die Zustandsänderungen zu simulieren und die nichtlineare Wellenmethode zu erfüllen. Auf diese Weise können wir die zeitliche Entwicklung von Wellen in einem Medium untersuchen, einschließlich Phänomenen wie Formänderungen, Brechung und Reflexion von Wellenpaketen, ohne zunächst komplexe physikalische Modelle zu definieren oder die Analyse manuell abzuleiten.

Kurz gesagt ist das auf physikalischen Informationen basierende neuronale Netzwerk eine Methode, die physikalische Modelle und neuronale Netzwerke kombiniert, die sich an das Lernen komplexer nichtlinearer dynamischer Systeme auf der Erde anpassen und gleichzeitig die physikalischen Gesetze strikt erfüllen können. PINN wird in der Strömungsmechanik, Akustik, Strukturmechanik und anderen Bereichen häufig eingesetzt und hat einige bemerkenswerte Ergebnisse erzielt. Mit der kontinuierlichen Weiterentwicklung neuronaler Netze und automatisierter Differentialtechnologie wird PINN in Zukunft hoffentlich zu einem größeren, stärkeren und vielseitigeren Werkzeug zur Lösung verschiedener nichtlinearer Dynamikprobleme werden.

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