Erkunden Sie die Grundprinzipien und den Implementierungsprozess verschachtelter Sampling-Algorithmen

Der verschachtelte Stichprobenalgorithmus ist ein effizienter Bayes'scher statistischer Inferenzalgorithmus, der zur Berechnung des Integrals oder der Summation unter komplexen Wahrscheinlichkeitsverteilungen verwendet wird. Dabei wird der Parameterraum in mehrere Hyperwürfel mit gleichem Volumen zerlegt und schrittweise und iterativ einer der Hyperwürfel mit dem kleinsten Volumen „herausgeschoben“ und dann der Hyperwürfel mit Zufallsstichproben gefüllt, um den Integralwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung besser abzuschätzen. Durch kontinuierliche Iteration kann der verschachtelte Stichprobenalgorithmus hochpräzise Integralwerte und Grenzen des Parameterraums erhalten, die auf statistische Probleme wie Modellvergleich, Parameterschätzung und Modellauswahl angewendet werden können. Die Kernidee dieses Algorithmus besteht darin, komplexe Integrationsprobleme in eine Reihe einfacher Integrationsprobleme umzuwandeln und sich dem wahren Integralwert zu nähern, indem das Volumen des Parameterraums schrittweise verringert wird. Jeder Iterationsschritt erhält durch Zufallsstichproben Stichproben aus dem Parameterraum und führt gewichtete Berechnungen gemäß der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Stichproben durch, um eine Schätzung des Integralwerts zu erhalten. Der Vorteil des verschachtelten Stichprobenalgorithmus besteht darin, dass er verschiedene komplexe Wahrscheinlichkeitsverteilungen verarbeiten kann und hinsichtlich der Recheneffizienz und -genauigkeit eine gute Leistung erbringt.

Der verschachtelte Abtastalgorithmus wurde ursprünglich 2004 von Skilling vorgeschlagen. Er wird häufig bei der Datenanalyse und dem Modellvergleich in der Astronomie, Statistik, Physik, Biologie und anderen Bereichen verwendet. Im Folgenden stellen wir anhand eines einfachen Beispiels die Grundidee und den Implementierungsprozess des verschachtelten Stichprobenalgorithmus vor.

Angenommen, wir haben eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p(x) einer Normalverteilung und möchten ihren Integralwert über das gesamte reelle Zahlenintervall berechnen, d. h. nach ∫p(x)dx auflösen. Aufgrund der Eigenschaften der Normalverteilung wissen wir, dass der Integralwert von p(x) 1 ist. Um diese Eigenschaft zu überprüfen, können wir den verschachtelten Stichprobenalgorithmus zur Berechnung verwenden. Die Grundidee dieses Algorithmus besteht darin, den Integralwert durch Zufallsstichproben auf einer Normalverteilung zu approximieren und eine gewichtete Summierung der Stichprobenpunkte durchzuführen. Durch wiederholtes Durchführen des Stichprobenverfahrens und der gewichteten Summierung können wir einen Integralwert erhalten, der nahe genug bei 1 liegt, um die Eigenschaften der Normalverteilung zu überprüfen.

Zunächst zerlegen wir den Parameterraum [-∞, ∞] in mehrere Hyperwürfel V_i gleichen Volumens. Das Volumen jedes Hyperwürfels beträgt ΔV = 1/N, wobei N die Anzahl der Hyperwürfel ist. Wir verwenden x_i, um eine Zufallsstichprobe im i-ten Hyperwürfel darzustellen, und berechnen dann den Wert von p(x_i). Um sicherzustellen, dass jeder Hyperwürfel gefüllt werden kann, müssen wir zufällig einige Proben aus einem Hyperwürfel entnehmen und diese Proben in andere Hyperwürfel füllen. Auf diese Weise wird jeder Hyperwürfel gefüllt und wir erhalten eine genauere Schätzung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

Dann müssen wir einen Hyperwürfel V_{text{min}} auswählen, dessen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionswert der kleinste ist. Um diesen Prozess zu implementieren, müssen wir die Stichprobe mit dem kleinsten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionswert in V_{text{min}} entfernen, das heißt, alle Stichproben mit dem kleinsten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionswert in x_i aus V_{text{min} entfernen }}. Während dieses Prozesses müssen wir das Volumen und den Funktionswert der minimalen Wahrscheinlichkeitsdichte von V_{text{min}} aufzeichnen und sie als Referenzwert für die nächste Iteration verwenden.

Wiederholen Sie den obigen Vorgang, bis alle Hyperwürfel „herausgeschoben“ sind. An diesem Punkt haben wir eine vollständige Schätzung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und eine Näherung des Integralwerts. Der spezifische Implementierungsprozess ist wie folgt:

import numpy as np

def log_likelihood(x):
"""定义概率密度函数"""
return -0.5 * x ** 2

def nested_sampling(N, log_likelihood):
"""嵌套采样算法实现"""
log_X = -np.inf
logL = [log_likelihood(np.random.randn()) for i in range(N)]
for i in range(N):
# 找到最小的概率密度函数值的样本
idx = np.argmin(logL)
logL[idx] = np.inf
# 计算当前的体积和概率密度函数值
log_X_new = logL[idx] - np.log(N - i)
logL_new = log_likelihood(np.random.randn())
# 更新 X 和 logL
log_X = np.logaddexp(log_X,log_X_new)
logL[idx] = logL_new
# 返回结果
return log_X, log_X - np.log(N)

Unter diesen stellt N die Anzahl der Hyperwürfel dar, log_likelihood ist der logarithmische Wert der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, log_X ist der ungefähre Wert des logarithmischen Integralwerts und logL ist der logarithmische Wert von Minimaler Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionswert in jedem Hyperwürfel. np.logaddexp ist eine logarithmische Additionsfunktion, die verwendet wird, um numerische Unter- oder Überläufe zu vermeiden.

Im obigen Code definieren wir zunächst eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion log_likelihood einer Normalverteilung und implementieren dann den verschachtelten Stichprobenalgorithmus über die Funktion „nested_sampling“. In dieser Funktion initialisieren wir zunächst den Wert von log_X auf negative Unendlichkeit, durchlaufen dann die Schleife N-mal, um die Stichprobe mit dem kleinsten Wert der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zu finden, berechnen das aktuelle Volumen und den Wert der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und aktualisieren die Werte von log_X und logL und geben das Endergebnis zurück.

Es ist zu beachten, dass wir den Integralwert im obigen Code nicht direkt berechnet haben, sondern seinen logarithmischen Wert log_X. Dies liegt daran, dass in tatsächlichen Berechnungen der Wert der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion normalerweise sehr klein ist Ursache Numerischer Unterlauf oder Überlauf. Daher berechnen wir Integrale normalerweise mit logarithmischen Werten, was numerische Probleme vermeidet und eine bessere Handhabung von Produkten und Integralen von Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen ermöglicht.

Der verschachtelte Stichprobenalgorithmus ist ein sehr effektiver statistischer Inferenzalgorithmus, der zur Berechnung des Integrals oder der Summation unter komplexen Wahrscheinlichkeitsverteilungen verwendet werden kann. Seine Hauptidee besteht darin, den Parameterraum in mehrere Hyperwürfel mit gleichem Volumen zu zerlegen und dann kontinuierlich zu iterieren, indem der Hyperwürfel zufällig abgetastet und „herausgeschoben“ wird, um hochpräzise Integralwerte und Grenzen des Parameterraums zu erhalten. Verschachtelte Stichprobenalgorithmen werden häufig bei der Datenanalyse und beim Modellvergleich in der Astronomie, Statistik, Physik, Biologie und anderen Bereichen eingesetzt.

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