详解一道关于反三角函数的定积分题
∫ (arcsinx)² dx
= x(arcsinx)² - ∫ x d(arcsinx)²
= x(arcsinx)² - ∫ x • 2(arcsinx) • 1/√(1 - x²) • dx
= x(arcsinx)² - 2∫ x(arcsinx)/√(1 - x²) dx
= x(arcsinx)² - 2∫ arcsinx d[-√(1 - x²)]
= x(arcsinx)² + 2(arcsinx)√(1 - x²) - 2∫ √(1 - x²) d(arcsinx)
= x(arcsinx)² + 2(arcsinx)√(1 - x²) - 2∫ √(1 - x²)/√(1 - x²) dx
= x(arcsinx)² + 2(arcsinx)√(1 - x²) - 2x + C
这是不定积分
定积分就代入就有了
反三角函数的原函数
用分部积分法得:
I = ∫ arcsinx dx = x arcsinx - ∫ [x/√(1-x^2)] dx
= x arcsinx + (1/2) ∫ [1/√(1-x^2)] d(1-x^2) = x arcsinx + √(1-x^2) +C
I = ∫ arccosx dx = x arccosx + ∫ [x/√(1-x^2)] dx
= x arccosx - (1/2) ∫ [1/√(1-x^2)] d(1-x^2) = x arccosx - √(1-x^2) +C
I = ∫ arctanx dx = x arctanx - ∫ [x/(1+x^2)] dx
= x arctanx - (1/2) ∫ [1/(1+x^2)] d(1+x^2) = x arctanx - (1/2)ln(1+x^2) +C
它是反正弦arcsin x,反余弦arccos x,反正切arctan x,反余切arccot x,反正割arcsec x,反余割arccsc x这些函数的统称,各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切 ,反正割,反余割为x的角。
扩展资料:
函数在这个区间最好是连续的(这里之所以说最好,是因为反正割和反余割函数是尖端的);为了使研究方便,常要所选择的区间包含0到π/2的角。
所确定的区间上的函数值域应与整函数的定义域相同。这样确定的反三角函数就是单值的,为了与上面多值的反三角函数相区别,在记法上常将Arc中的A改记为a,例如单值的反正弦函数记为arcsin x。
为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2,将y作为反正弦函数的主值,记为y=arcsin x;相应地,反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2 参考资料来源:百科——反三角函数 .积分区间对称的先看式中有没有奇函数,比如这道题平方展开为:1+2x(1-x^2)^1/2,注意到2x(1-x^2)^1/2是奇函数,所以它在对称区间的积分为0,仅剩"1",所以结果为2 2.出现arctan,ln之类的一定要想办法对其做导数,x*arctanx,要想对arctanx做导,就必须用分部积分: 把x放到后面,原积分式化为:1/2arctanx d(x^2),分部积分后半部的积分式为(x^2)/(1+x^2),这个应该会积了吧,关键是要知道对arctan导 此题结果为:1/2(x^2*arctanx - x + arctanx + C) 这边只要多做题思路就通了,真正难的在后面的多重积分和曲面曲线积分,可以说是变态级的 分部积分公式是非常重要的的一个公式,有了它能在某些积分题目中利用公式快速的解出答案。同时也能在某些被积函数不能直接找到原函数的情况下解出答案。 扩展资料: 1.分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。 2.它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接结果的积分形式,转化为等价的易出结果的积分形式的。 3.常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型,将分部积分的顺序整理为口诀:“反对幂指三”。分别代指五类基本函数:反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。 4.不定积分的公式(1)、∫ a dx = ax + C,a和C都是常数 (2)、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C,其中a为常数且 a ≠ -1 (3)、∫ 1/x dx = ln|x| + (4)、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C,其中a > 0 且 a ≠ (5)、∫ e^x dx = e^x + C (6)、∫ cosx dx = sinx + (7)、∫ sinx dx = - cosx + C (8)、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C 5.不定积分的方法: 第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x);而前面的剩下的正好是关于f(x)的函数,再把f(x)看为一个整体,出最终的结果。 分部积分,就那固定的几种类型,无非就是三角函数乘上x,或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的,记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f'(x)dx=df(x)变形,再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f(x)dx这样的公式,当然x可以换成其他g(x)。 参考资料:百科:分部积分法反三角函数的不定积分如何证明
分部积分公式推导
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