y是由三次函数fx=ax^3+bx^2+cx+d定义的
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- 2024-01-20 08:09:091157浏览
对于三次函数fx ax 3 bx 2 cx da 0定义：设f x是函数y fx的导数y
(1)依题意，得：f′（x）=3x 2 -12x+5，∴f′′（x）=6x-12=0，得x=2
所以拐点坐标是（2,-2）
(2)设（x 1 ,y 1 ）与（x,y）关于（2,-2）中心对称，并且（x 1 ,y 1 ）在f(x)，所以就有
x 1 =4-x
y 1 =-4-y ,
由y 1 =x 1 3 -6x 1 2 +5x 1 +4，得-4-y=(4-x) 3 -6(4-x) 2 +5(x-4)+4
化简的：y=x 3 -6x 2 +5x+4
所以（x,y）也在f(x)上，故f(x)关于点（2,-2）对称.
三次函数f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d(a≠0)的“拐点”是（-
b
3a ,f(-
b
3a )），它就是函数f(x)的对称中心
（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数）.
(3),G(x)=a(x-1) 3 +b(x-1) 2 +3(a≠0)，或写出一个具体函数，如G(x)=x 3 -3x 2 +3x+2，或G(x)=x 3 -3x 2 +5x
对于三次函数fx ax3 bx2 cx da 0定义：设f x是函数y fx的导函
(1)f′（x）=3x2-6x+2…（1分）f″（x）=6x-6令f″（x）=6x-6=0得x=1…（2分）f(1)=13-3+2-2=-2∴拐点A(1,-2)…（3分）
(2)设P(x0,y0)是y=f(x)图象上任意一点，则y0=x03-3x02+2x0-2，因为P(x0,y0)关于A(1,-2)的对称点为P'(2-x0,-4-y0),
把P'代入y=f(x)得左边=-4-y0=-x03+3x02-2x0-2
右边=（2-x0）3-3(2-x0)2+2(2-x0)-2=-x03+3x02-2x0-2∴右边=右边∴P′（2-x0,-4-y0）在y=f(x)图象上∴y=f(x)关于A对称 …（7分）
结论：①任何三次函数的拐点，都是它的对称中心
②任何三次函数都有“拐点”
③任何三次函数都有“对称中心”（写出其中之一）…（9分）
(3)设G(x)=ax3+bx2+d，则G(0)=d=1…（10分）∴G(x)=ax3+bx2+1,G'(x)=3ax2+2bx,G''(x)=6ax+2bG''(0)=2b=0,b=0，∴G(x)=ax3+1=0…（11分）
法一：
G(x1)+G(x2)
2 ?G(
x1+x2
2 )=
a
2
x 3
1
+
a
2
x 3
2
?a(
x1+x2
2 )3=a[
1
2
x 3
1
+
1
2
x 3
2
?(
x1+x2
2 )3]=
a
2 [
x 3
1
+
x 3
2
?
x 3
1
+
x 3
2
+3
x 2
1
x2+3x1
x 2
2
4 ]=
a
8 (3
x 3
1
+3
x 3
2
?3
x 2
1
x2?3x1
x 2
2
)=
a
8 [3
x 2
1
(x1?x2)?3
x 2
2
(x1?x2)]=
3a
8 (x1?x2)2(x1+x2)…（13分）
当a>0时，
G(x1)+G(x2)
2 >G(
x1+x2
2 )
当aG(x1)+G(x2)
2 x1+x2
2 ）…（14分）
法二：G′′（x）=3ax，当a>0时，且x>0时，G′′（x）>0，∴G(x)在（0，+∞）为凹函数，∴
G(x1)+G(x2)
2 >G(
x1+x2
2 )…（13分）
当aG(x1)+G(x2)
2 x1+x2
2 ）…（14分）
对于三次函数fx ax3 bx2 cx da 0定义：设f x是函数y fx的导函数
(1)∵f'(x)=3x2-6x+2,
∴f''(x)=6x-6,
令f''(x)=6x-6=0,
得x=1,f(1)=-2
所以“拐点”A的坐标为（1,-2）
(2)设P(x0,y0)是y=f(x)图象上任意一点，则y0=x03?3x02+2x0?2
∴P(x0,y0)关于（1,-2）的对称点P'(2-x0,-4-y0),
把P'(2-x0,-4-y0)代入y=f(x)，得左边=？4?y0=?x03+3x02?2x0?2
右边=（2?x0）3?3(2?x0)2+2(2?x0)?2=?x03+3x02?2x0?2
∴左边=右边，
∴P'(2-x0,-4-y0)在y=f(x)图象上，
∴f(x)的图象关于“拐点”A对称.
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