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一元三次方程的解公式！

WBOY转载: 2024-01-05 19:50:281182浏览

一元三次方程的根公式？？只要公式？

一元三次方程根公式的解法

一元三次方程的根公式不能通过通常的演绎思维得出，但可以通过类似解一元二次方程的根公式的配方法来将标准型的一元三次方程化简为特殊型的形式x^3+px+q=0。这种方法可以帮助我们更方便地求解一元三次方程的根。

一元三次方程的解公式的解法只能通过归纳思维得到。我们可以根据一元一次方程、一元二次方程以及特殊的高次方程的根公式的形式进行归纳，从而得到一元三次方程的根公式的形式。归纳得到的形式是x = A^(1/3) + B^(1/3)，即为两个开立方之和。然后，我们需要找出A和B与p、q之间的关系。具体方法如下：

(1)将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到

(2)x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))

(3)由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为

x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得

(4)x^3-3(AB)^(1/3)x-(A+B)=0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知

(5)-3(AB)^(1/3)=p,-(A+B)=q，化简得

(6)A+B=-q,AB=-(p/3)^3

(7)这样其实就将一元三次方程的根公式化为了一元二次方程的根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而（6）则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即

(8)y1+y2=-(b/a),y1*y2=c/a

(9)对比（6）和（8），可令A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a

(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程根公式为

y1=-(b+(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)

y2=-(b-(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)

可化为

(11)y1=-(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

y2=-(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

将（9）中的A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a代入（11）可得

(12)A=-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)

B=-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)

(13)将A,B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得

(14)x=(-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)

式（14）只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要出了其中一个根，另两个根就容易出了

一元三次方程的根公式