集合X = {a, b, c}的成对乘积可以定义为所有可能的集合对乘积的和。集合的成对为Y = {a * a, a * b, a *c, b * b, b * c, c * c},其中乘积是可交换的。因此,集合X的成对乘积是集合Y的元素之和,即aa + ab + ac + bb + bc + cc。
在数学术语中,可能的配对乘积的总和可以表示为:
$$mathrm{displaystylesumlimits_{i=1,j=i}^{ileq n,jleq n}:(i,j)=itime j}$$
问题陈述
给定一个数字n。在范围(1,n)内,包括n和1,找到成对乘积的总和。
示例示例1
Input: n = 4
Output: 65
Explanation
的中文翻译为:解释
i的范围从1到4,j的范围从i到4。
1*1 + 1*2 + 1*3 + 1*4 + 2*2 + 2*3 + 2*4 + 3*3 + 3*4 + 4*4 = 1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 6 + 8 + 9 + 12 + 16 = 65
示例示例2
Input: n = 10
Output: 1705
Explanation
的中文翻译为:解释
i的范围从1到10,j的范围从i到10。
1*1 + 1*2 + … + 1*10 + 2*2 + 2*3 + … + 2*10 + 3*3 + 3*4 + … + 3*10 + 4*4 + 4 *5 + … 4*10 + 5*5 + 5*6 + … + 5*10 + 6*6 + 6*7 + … 6*10 + 7*7 + 7*8 + … 7*10 + 8* 8 + 8*9 + 8*10 + 9*9 + 9*10 + 10*10 = 1705
方法一:暴力破解方法
解决这个问题的蛮力解法是使用两个for循环迭代范围内的所有可能的数对,其中第一个循环从1到n迭代,第二个循环从第一个数迭代到n。
伪代码
procedure pairwiseProduct (n) sum = 0 for i = 1 to n for j = i to n sum = sum + (i * j) end procedure
示例:C++实现
在以下程序中,我们找到所有可能的配对,然后找到乘积的和。
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; // Function to find pairwise product over the range 1 to n, 1 and n inclusive unsigned long long pairwiseProduct(unsigned int n){ unsigned long long sum = 0; // First number: 1 <= i <= n for (unsigned int i = 1; i <= n; i++){ // Second number: i <= j <= n for (unsigned int j = i; j <= n; j++){ sum += i * j; } } return sum; } int main(){ unsigned long long n = 9; cout << "Pairwise Product = " << pairwiseProduct(n); return 0; }
输出
Pairwise Product = 1155
时间复杂度 - O(n^2)
空间复杂度 - O(1)
方法二
以n = 4为例,
I = 1*1 + 1*2 + 1*3 + 1*4 + 2*2 + 2*3 + 2*4 + 3*3 + 3*4 + 4*4
在简化上述内容时,
I = 1*1 + (1+2)*2 + (1+2+3)*3 + (1+2+3+4)*4
取prefix_sum[1] = 1,
前缀总和[2] = 1+2,
前缀总和[3] = 1+2+3,
前缀总和[2] = 1+2,
伪代码
procedure pairwiseProduct (n) sum = 0 prefixSum = 0 for i = 1 to n prefixSum = prefixSum + 1 sum = sum + i * prefixSum end procedure
示例:C++实现
在下面的程序中,我们找到每次迭代的和,即前缀和,并乘以迭代次数,然后在每一步中加到最终和中。
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; // Function to find pairwise product over the range 1 to n, 1 and n inclusive unsigned long long pairwiseProduct(unsigned int n){ unsigned long long sum = 0; unsigned long long prefixSum = 0; for (unsigned int i = 1; i <= n; i++){ prefixSum += i; sum += i * prefixSum; } return sum; } int main(){ unsigned long long n = 9; cout << "Pairwise Product = " << pairwiseProduct(n); return 0; }
输出
Pairwise Product = 1155
结论
总之,对于在范围1到n内的数字的两两乘积之和的求解,我们可以采用上述两种方法之一,其中第一种方法是暴力法,时间复杂度为O(n^2),第二种方法是使用前缀和来计算两两乘积之和的优化方法,时间复杂度为O(n)。
以上是两两乘积之和的详细内容。更多信息请关注PHP中文网其他相关文章!

C#和C 的历史与演变各有特色,未来前景也不同。1.C 由BjarneStroustrup在1983年发明,旨在将面向对象编程引入C语言,其演变历程包括多次标准化,如C 11引入auto关键字和lambda表达式,C 20引入概念和协程,未来将专注于性能和系统级编程。2.C#由微软在2000年发布,结合C 和Java的优点,其演变注重简洁性和生产力,如C#2.0引入泛型,C#5.0引入异步编程,未来将专注于开发者的生产力和云计算。

C#和C 的学习曲线和开发者体验有显着差异。 1)C#的学习曲线较平缓,适合快速开发和企业级应用。 2)C 的学习曲线较陡峭,适用于高性能和低级控制的场景。

C#和C 在面向对象编程(OOP)中的实现方式和特性上有显着差异。 1)C#的类定义和语法更为简洁,支持如LINQ等高级特性。 2)C 提供更细粒度的控制,适用于系统编程和高性能需求。两者各有优势,选择应基于具体应用场景。

从XML转换到C 并进行数据操作可以通过以下步骤实现:1)使用tinyxml2库解析XML文件,2)将数据映射到C 的数据结构中,3)使用C 标准库如std::vector进行数据操作。通过这些步骤,可以高效地处理和操作从XML转换过来的数据。

C#使用自动垃圾回收机制,而C 采用手动内存管理。1.C#的垃圾回收器自动管理内存,减少内存泄漏风险,但可能导致性能下降。2.C 提供灵活的内存控制,适合需要精细管理的应用,但需谨慎处理以避免内存泄漏。

C 在现代编程中仍然具有重要相关性。1)高性能和硬件直接操作能力使其在游戏开发、嵌入式系统和高性能计算等领域占据首选地位。2)丰富的编程范式和现代特性如智能指针和模板编程增强了其灵活性和效率,尽管学习曲线陡峭,但其强大功能使其在今天的编程生态中依然重要。

C 学习者和开发者可以从StackOverflow、Reddit的r/cpp社区、Coursera和edX的课程、GitHub上的开源项目、专业咨询服务以及CppCon等会议中获得资源和支持。1.StackOverflow提供技术问题的解答;2.Reddit的r/cpp社区分享最新资讯;3.Coursera和edX提供正式的C 课程;4.GitHub上的开源项目如LLVM和Boost提升技能;5.专业咨询服务如JetBrains和Perforce提供技术支持;6.CppCon等会议有助于职业

C#适合需要高开发效率和跨平台支持的项目,而C 适用于需要高性能和底层控制的应用。1)C#简化开发,提供垃圾回收和丰富类库,适合企业级应用。2)C 允许直接内存操作,适用于游戏开发和高性能计算。


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