Java高次幂取模+积性函数+逆元的方法

题目意思：2004^x的所有正因数的和(S)对29求余；输出结果；

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因子和

6的因子是1,2,3,6; 6的因子和是s(6)=1+2+3+6=12;

20的因子是1,2,4,5,10,20; 20的因子和是s(20)=1+2+4+5+10+20=42;

2的因子是1,2; 2的因子和是s(2)=1+2=3;

3的因子是1,3; 3的因子和是s(3)=1+3=4;

4的因子和是
s(4)=1+2+4=7;

5的因子和是
s(5)=1+5=6;

s(6)=s(2)*s(3)=3*4=12;

s(20)=s(4)*s(5)=7*6=42;

这是巧合吗？

再看 s(50)=1+2+5+10+25+50=93=3*31=s(2)*s(25),s(25)=1+5+25=31.

这在数论中叫积性函数，当gcd(a,b)=1时s(a*b)=s(a)*s(b);

如果p是素数

s(p^n)=1+p+p^2+...+p^n=(p^(n+1)-1) /(p-1) (1)

例 hdu1452 Happy2004

计算 因子和 s(2004^X) mod 29,

2004=2^2 *3 *167

s(2004^X) ) = (s(2^2X))) *(s(3^X))) * (s(167^X)))

167)=22;

s(2004^X) ) = (s(2^2X))) *(s(3^X))) * (s(22^X)))

a=s(2^2X)=(2^(2X+1)-1)//根据 （1）

b=s(3^X)= (3^(X+1)-1)/2//根据 （1）

c=s(22^X)= (22^(X+1)-1)/21//根据 （1）

%运算法则
1. (a*b) %p= ( a%p) *(b%p)

%运算法则
2. (a/b) %p= ( a *b^(-1)%p)

b^(-1)是
b的逆元素 （%p）

2的逆元素是15 （)） ，因为2*15=30 % 29=1 % 29

21的逆元素是18 （)） ，因为21*18=378% 29 =1 % 29

因此

a=（powi(2,2*x+1,29)-1）%29;

b=(powi(3,x+1,29)-1)*15 %29;

c=(powi(22,x+1,29)-1)*18 %29;

ans=（a*b）% 29*c % 29;

资料拓展： 1.

高次幂快速取模链接
                          2.积性函数：在数论中的积性函数：对于正整数n的一个算术函数
f(n)，若f(1)=1，且当a,b互质时f(ab)=f(a)f(b)，在数论上就称它为积性函数。若
                                                       对于某积性函数 f(n) ，就算a, b不互质，也有f(ab)=f(a)f(b)，则称它为完全积性的。若将n表示成质因子分解式;
                    3.求逆元：
                           
在计算(a/b)%Mod时，往往需要先计算b%Mod的逆元p（b有逆元的条件是gcd(b,Mod)==1，显然素数肯定有逆元），然后由(a*p)%Mod      
  得结果c。这
 里b的逆元p满足(b*p)%Mod=1。先来简单证明一下：
   (a/b)%Mod=c;    (b*p)%Mod=1;    ==》   (a/b)*(b*p) %Mod=c;    ==》    (a*p)%Mod=c;

从上面可以看出结论的正确性，当然这里b需要是a的因子。接下来就需要知道根据b和Mod，我们怎么计算逆元p了。大家都应该熟悉扩展欧几里德算法，它用于解决已知a、b时求一组解(x,y)，使得a*x+b*y=1。x和y分别是a对b取模的逆元和b对a取模的逆元，可通过模上b或a来验证。

下面解释原因：

模m乘法逆元

定义：对于整数a，m，如果存在整数b，满足ab ≡ 1(mod m)，则说，b是a的模m乘法逆元。

定理：a存在模m的乘法逆元的充要条件是gcd(a,m) = 1

充分性：

因为

gcd(a,m) = 1

根据欧拉定理，有

a^φ(m) ≡ 1(mod m)

因此

a * a^(φ(m)-1) mod m = 1

所以存在a的模m乘法逆元，即a^(φ(m)-1)

必要性：

假设存在a模m的乘法逆元为b，则

ab ≡ 1 (mod m)

所以

ab = km +1

所以

1 = ab - km

由欧几里得定理，有

gcd(a,m) = 1

由定理知：

对于ax + by = 1，可以看出x是a模b的乘法逆元，y是b模a的乘法逆元。

反过来，要计算a模b的乘法逆元，就相当于求ax + by = 1的x的最小正整数解，从而化为线性不定方程解决。

具体参考：http://blog.csdn.net/synapse7/article/details/9901195调用ExtGcd（b,Mod,x,y)，x即为b%Mod的逆元p。 
  求b%Mod的逆元p还有另外一种方法，即p=b^(Mod-2)%Mod，因为b^(Mod-1)%Mod=1(这里需要Mod为素数)。错误分析：1:if(y&1)ans*=x%29;//误把试中ans=x*x%292.数据类型要用__int64,

代码实现：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;
typedef __int64 ll;
ll  powmol(ll  x,ll  y)//高次幂取模的求x^ymod29
{
    ll  ans=1;
    x=x%29;
    while(y)
    {
        if(y&1)ans*=x%29;//y是奇数情况的处理；
        x=x*x%29;
        y>>=1;//
    }
    return ans;
}
int main()
{
    ll  x,a,b,c;
    while(scanf("%I64d",&x),x)
    {
        a=(powmol(2,2*x+1)-1)%29;
        b=(powmol(3,x+1)-1)*15%29;
        c=(powmol(22,x+1)-1)*18%29;
        printf("%I64d\n",(a*b)%29*c%29);
    }
    return 0;
}

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