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对Photoshop高斯模糊滤镜的算法总结

高洛峰

Feb 20, 2017 am 09:40 AM

最近有感于部分网友对高斯模糊滤镜的研究，现总结如下。高斯模糊是数字图像模板处理法的一种。其模板是根据二维正态分布（高斯分布）函数计算出来的。
正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。故名高斯模糊。

一维正态分布的函数定义：

对Photoshop高斯模糊滤镜的算法总结

型随机变量的分布，第一参数μ是遵从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。遵从正态分布的随机变量的概率规律为取 μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。

两个常数的意义：μ-期望，σ^2 方差。

下面我们解决第一个疑问：高斯模糊滤镜中的半径是什么？答案是高斯半径就是公式中的σ。

高斯曲线的图形和半径的含义如下图（来自Adobe SDK中技术支持专家的文档）所示：

对Photoshop高斯模糊滤镜的算法总结

可见高斯半径（σ）对曲线形状的影响，σ越小，曲线越高越尖，σ越大，曲线越低越平缓。对二维图像来说，是一个钟形曲面，高斯半径越小，曲面越高越尖越陡峭；高斯半径越大，曲面越低越平缓。因此高斯半径越小，则模糊越小，高斯半径越大，则模糊程度越大。我们将看到ps对高斯半径的范围定义是【0.1~250】。当半径为0.1时，高斯模板在计算后只有中间像素为1，其他像素均=0（实际上只是趋近0），即图像不会有变化。

第二个疑问，高斯模板大小和高斯半径的关系？这是一个一直困扰我们的误解。因为我们的思维进入了物理实现的误区。在物理实现中，高斯模板有界，从而使我们忽略了这个问题的真正答案：高斯模板在逻辑上是无边界的。也就是说高斯模板本质上是逻辑上无穷拓展曲面的一个近似。因此，模板大小我们应该认为它是无穷大的。只不过在计算的时候，因为在远处趋近0，因此在某个阈值之下我们不再考虑这些值，这个阈值就是模板边界。

下面，二维高斯曲面的公式（x,y代表像素的模板坐标，模板中心位置为原点）：

对Photoshop高斯模糊滤镜的算法总结

即：g(x,y)= ( 1 / (2*pi*σ^2) ) * exp( -(x^2+y^2)/(2*σ^2) ) ;

根据这个公式，我们可以计算出不同半径下的高斯模板，实际上模板是无穷大的，只是在中心较远处，他们会趋近0.例如，我们计算出r=0.7时的一个归一化后的高斯模板：

高斯模板（guass radius=0.700000）

在网络上众所周知流传的高斯3*3模板实际上是对高斯曲面的一个整数除法形式的近似：

1 2 1

2 4 2 /16

1 2 1

实际验证，我们发现这个3*3模板实际上是对高斯半径约为0.849时的一个近似，当r=0.849时，其3*3归一模板为（在MATLAB中，输入h=fspecial('gaussian', 3, 0.849);即可得到这个模板）：

           （guass radius=0.849000）
           0.062467   0.125000   0.062467
           0.125000   0.250131   0.125000
           0.062467   0.125000   0.062467

然后我们可以用Matlab中的imfilter来对图像进行高斯模糊的处理：

          img = imread('c:\demo.bmp');
          h = fspecial('gaussian', 3, 0.849);
          img2 = imfilter(img, h);
          subplot(121), imshow(img); title('原图')
          subplot(122), imshow(img2); title('高斯模糊后')

效果如下：

对Photoshop高斯模糊滤镜的算法总结

我们可以在Matlab中用如下语句绘制高斯曲面：

绘制高斯曲面的Matlab代码

效果如下图：

对Photoshop高斯模糊滤镜的算法总结

在数字信号处理中，高斯模糊算法是一种滤波器，它的时域和频域曲线如下所示：

对Photoshop高斯模糊滤镜的算法总结

从频域曲线看出，高斯模糊本质上一种低通滤波器。体现在图像处理上，图像的边缘等灰度变化剧烈的地方对应高频信息，将被滤除。

最后，我们给出计算高斯模糊模板的C语言代码，请注意，由于高斯模板是对称的，实际上我们只需要计算出大约1/4模板即可。但这里的代码我们没有做这样的优化。我们输出的模板是（2*N+1）*（2N+1），高斯半径用r表示。

计算高斯模板

同时，作为比较，我们给出在Matlab中生成高斯模板的代码（fspecial的代码局部，其中p3是第三个参数即高斯半径）：

  case &#39;gaussian&#39; % Gaussian filter

     siz   = (p2-1)/2;  %注：p2即模板边长，默认值为33
     std   = p3;        %注：p3即高斯半径，默认为为0.5
     
     [x,y] = meshgrid(-siz(2):siz(2),-siz(1):siz(1));
     arg   = -(x.*x + y.*y)/(2*std*std);

     h     = exp(arg);
     h(h<eps*max(h(:))) = 0;

     sumh = sum(h(:));  %注：模板归一化
     if sumh ~= 0,
       h  = h/sumh;
     end;

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