曲线积分换元：为什么用y=sin(t)替换而非极坐标变换？

关于曲线积分变量替换的探讨

本文分析一个曲线积分问题中变量替换的技巧，解答中并非采用极坐标变换，而是利用三角函数代换简化积分计算。

原积分式为：$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$

解答采用如下换元法：令 $y = \sin(t)$。由于积分区间 $y \in (0, 1)$，则 $t \in (0, \frac{\pi}{2})$。在这个区间内，$\sin(t)$ 和 $\cos(t)$ 均为正值。

代入换元后，积分式变为：

$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2t}{\sqrt{1-\sin^2t}}d(\sin t)$

由于 $d(\sin t) = \cos t dt$，且 $\sqrt{1 - \sin^2t} = \cos t$ (在 $t \in (0, \frac{\pi}{2})$ 区间内)，积分式可简化为：

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2t}{\cos t}\cos t dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2t dt$

通过 $y = \sin(t)$ 的代换，巧妙地消去了根号，简化了积分计算。 这体现了选择恰当的变量替换在简化积分过程中的重要性。 与极坐标变换相比，此方法更直接有效地解决了该特定积分问题。 关键在于合理选择换元变量并正确处理积分限和微分元素。

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