我们如何递归地查找集合的所有分区？

查找集合的所有分区

在数学中，集合的分区是不相交子集（块或单元）的集合，其union 是原始集合。查找集合的所有分区是一个经典的组合问题，在许多领域都有应用。

递归解决方案

递归解决方案可以有效解决这个问题。该算法首先生成给定集合的所有可能的两部分分区。对于每个两部分分区，第二部分进一步分为两部分，产生三部分分区。此过程递归地继续，直到找到所有分区。

实现

这是递归算法的 C# 实现：

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

namespace Partitioning {
    public static class Partitioning {
        public static IEnumerable<T[][]> GetAllPartitions<T>(T[] elements) {
            return GetAllPartitions(new T[][]{}, elements);
        }

        private static IEnumerable<T[][]> GetAllPartitions<T>(
            T[][] fixedParts, T[] suffixElements)
        {
            // A trivial partition consists of the fixed parts
            // followed by all suffix elements as one block
            yield return fixedParts.Concat(new[] { suffixElements }).ToArray();

            // Get all two-group-partitions of the suffix elements
            // and sub-divide them recursively
            var suffixPartitions = GetTuplePartitions(suffixElements);
            foreach (Tuple<T[], T[]> suffixPartition in suffixPartitions) {
                var subPartitions = GetAllPartitions(
                    fixedParts.Concat(new[] { suffixPartition.Item1 }).ToArray(),
                    suffixPartition.Item2);
                foreach (var subPartition in subPartitions) {
                    yield return subPartition;
                }
            }
        }

        private static IEnumerable<Tuple<T[], T[]>> GetTuplePartitions<T>(
            T[] elements)
        {
            // No result if less than 2 elements
            if (elements.Length < 2) yield break;

            // Generate all 2-part partitions
            for (int pattern = 1; pattern < 1 << (elements.Length - 1); pattern++) {
                // Create the two result sets and
                // assign the first element to the first set
                List<T>[] resultSets = {
                    new List<T> { elements[0] }, new List<T>() };
                // Distribute the remaining elements
                for (int index = 1; index < elements.Length; index++) {
                    resultSets[(pattern >> (index - 1)) & 1].Add(elements[index]);
                }

                yield return Tuple.Create(
                    resultSets[0].ToArray(), resultSets[1].ToArray());
            }
        }
    }
}

说明

GetAllPartitions 方法采用输入集元素并生成所有可能的分区。它首先调用 GetTuplePartitions 来生成子集元素的所有两部分分区。对于每个两部分分区，它递归调用 GetAllPartitions。此递归过程持续进行，直到找到所有分区。

GetTuplePartitions 方法生成集合中所有可能的两部分分区。它通过迭代所有可能的位模式（即二进制数）来实现此目的，这些位模式表示将元素分配给两个分区。

示例

对于集合 {1 , 2, 3}，GetAllPartitions 方法将生成以下分区：

{ {1}, {2}, {3} }
{ {1, 2}, {3} }
{ {1, 3}, {2} }
{ {1}, {2, 3} }
{ {1, 2, 3} }

This算法有效地生成集合的所有分区，使其成为各种应用中的有价值的工具，例如组合优化和数据分析。

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