如何在 C# 中使用递归方法高效生成集合的所有分区？

生成集合的分区

将集合划分为不同的子集（称为分区）是一种常见的数学运算。本文深入研究了一种有效的方法来划分集合，确保不会因顺序无关而出现重复。

递归方法

我们的解决方案采用递归策略，从最简单的场景开始：正好分成两部分。通过将每个元素表示为一个位（第一部分为 0，第二部分为 1），我们通过始终将第一个元素放置在第一部分中来避免重复结果。

接下来，我们深入研究递归函数解决更复杂的分区。该函数对原始集合进行操作，查找所有两部分分区。每个分区的第二部分被递归地分为两部分，产生三部分分区。这个过程一直持续到整个集合被分区。

实现

下面是分区算法的 C# 实现：

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

namespace PartitionTest {
    public static class Partitioning {
        public static IEnumerable<T[][]> GetAllPartitions<T>(T[] elements) {
            return GetAllPartitions(new T[][]{}, elements);
        }

        private static IEnumerable<T[][]> GetAllPartitions<T>(
            T[][] fixedParts, T[] suffixElements)
        {
            // A trivial partition consists of the fixed parts
            // followed by all suffix elements as one block
            yield return fixedParts.Concat(new[] { suffixElements }).ToArray();

            // Get all two-group-partitions of the suffix elements
            // and sub-divide them recursively
            var suffixPartitions = GetTuplePartitions(suffixElements);
            foreach (Tuple<T[], T[]> suffixPartition in suffixPartitions) {
                var subPartitions = GetAllPartitions(
                    fixedParts.Concat(new[] { suffixPartition.Item1 }).ToArray(),
                    suffixPartition.Item2);
                foreach (var subPartition in subPartitions) {
                    yield return subPartition;
                }
            }
        }

        private static IEnumerable<Tuple<T[], T[]>> GetTuplePartitions<T>(
            T[] elements)
        {
            // No result if less than 2 elements
            if (elements.Length < 2) yield break;

            // Generate all 2-part partitions
            for (int pattern = 1; pattern < 1 << (elements.Length - 1); pattern++) {
                // Create the two result sets and
                // assign the first element to the first set
                List<T>[] resultSets = {
                    new List<T> { elements[0] }, new List<T>() };
                // Distribute the remaining elements
                for (int index = 1; index < elements.Length; index++) {
                    resultSets[(pattern >> (index - 1)) & 1].Add(elements[index]);
                }

                yield return Tuple.Create(
                    resultSets[0].ToArray(), resultSets[1].ToArray());
            }
        }
    }
}

调用分区.GetAllPartitions(new[] { 1, 2, 3, 4 }) 生成以下内容分区：

{ {1, 2, 3, 4} },
{ {1, 3, 4}, {2} },
{ {1, 2, 4}, {3} },
{ {1, 4}, {2, 3} },
{ {1, 4}, {2}, {3} },
{ {1, 2, 3}, {4} },
{ {1, 3}, {2, 4} },
{ {1, 3}, {2}, {4} },
{ {1, 2}, {3, 4} },
{ {1, 2}, {3}, {4} },
{ {1}, {2, 3, 4} },
{ {1}, {2, 4}, {3} },
{ {1}, {2, 3}, {4} },
{ {1}, {2}, {3, 4} },
{ {1}, {2}, {3}, {4} }.

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