我们如何递归生成集合的所有分区？

划分集合：递归方法

查找集合的所有分区的任务在计算机科学和数学中经常出现。分区将集合划分为不相交的子集，这些子集共同包含原始集合的所有元素。

首先，让我们考虑一个更简单的问题：将集合划分为两个子集。对于 n 元素集，我们可以使用二进制位掩码来表示分区。每个位对应于集合中的一个元素，其中 0 表示放置在第一个子集中，1 表示放置在第二个子集中。这确保每个元素都准确地分配给一个子集。

为了处理第一个子集中第一个元素的存在，我们只考虑第一位为 0 的位掩码。这将位掩码的数量减少到 2 ^(n-1).

为了推广这种方法，我们可以递归地将一个集合划分为多个子集。我们从所有两部分分区开始，然后将第二个子集分为两部分，然后是第三个子集，依此类推。此递归过程会生成所有可能的分区。

以下是 C# 中的示例实现，它为给定数组生成所有分区：

using System;
using System.Collections.Generic;

namespace Partitioning
{
    public static class Program
    {
        public static IEnumerable<T[][]> GetAllPartitions<T>(T[] elements)
        {
            return GetAllPartitions(new T[][] { }, elements);
        }

        private static IEnumerable<T[][]> GetAllPartitions<T>(T[][] fixedParts, T[] suffixElements)
        {
            // Trivial partition: fixed parts followed by remaining elements as one block
            yield return fixedParts.Concat(new[] { suffixElements }).ToArray();

            // Get all two-part partitions of suffix elements and subdivide recursively
            var suffixPartitions = GetTuplePartitions(suffixElements);

            foreach (Tuple<T[], T[]> suffixPartition in suffixPartitions)
            {
                var recursivePartitions = GetAllPartitions(fixedParts.Concat(new[] { suffixPartition.Item1 }).ToArray(), suffixPartition.Item2);
                foreach (T[][] partition in recursivePartitions)
                {
                    yield return partition;
                }
            }
        }

        private static IEnumerable<Tuple<T[], T[]>> GetTuplePartitions<T>(T[] elements)
        {
            if (elements.Length < 2)
                yield break;

            for (int pattern = 1; pattern < 1 << (elements.Length - 1); pattern++)
            {
                List<T>[] resultSets = { new List<T> { elements[0] }, new List<T>() };

                for (int index = 1; index < elements.Length; index++)
                {
                    resultSets[(pattern >> (index - 1)) & 1].Add(elements[index]);
                }

                yield return Tuple.Create(resultSets[0].ToArray(), resultSets[1].ToArray());
            }
        }
    }
}

使用元素数组调用 GetAllPartitions 会生成所有可能的分区对于那一套。

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