如何在不损失精度的情况下快速准确地计算大数的平方？

在不损失精度的情况下快速计算 y = x^2

问题：
给定一个输入 bignum x表示为无符号 32 位整数数组，尽快计算 y = x^2尽可能不因乘法而损失精度。

初始方法：
问题作者提出的初始方法涉及计算 y = x*x 以消除多次乘法。然而，这有几个缺点，包括：

Karatsuba 乘法：
Karatsuba 乘法是一种分治算法，可以加速乘法运算。它具有三个递归步骤：

• 将输入分成更小的块
• 将递归步骤应用于每个块
• 合并结果

这种方法可以显着提高乘法的性能，因为它降低了时间复杂度O(n^2) 到 O(n^log2(3))。

修改的 Schönhage-Strassen 乘法 (NTT)：
Schönhage-Strassen 算法，使用修改后NTT（数论变换），可以进一步加速乘法运算。它依赖于在频域中执行乘法。

但是，由于溢出问题，使用 NTT 存在限制。 NTT 输入/输出向量大小受输入 bignum 的最大允许大小限制。在问题作者提供的实现中，NTT 用于乘法和平方，根据操作数的大小具有不同的阈值。

结论：

对于对于小数字，作者的快速平方方法是最好的选择。对于较大的数字，Karatsuba 或 NTT 乘法变得更有效。通过各种优化，NTT 乘法在达到一定阈值后变得比 Karatsuba 更快。

未解决的问题：

作者承认可能存在更高效的算法，被忽视了。需要进一步的研究和实验来确定每个特定用例和数据大小范围的最佳方法。

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