如何直接计算二维和三维两个向量之间的顺时针角度？

计算向量之间顺时针角度的直接方法

处理二维向量时，可以直接使用行列式计算顺时针角度和点积。点积提供有关余弦的信息，而行列式则揭示角度的正弦。通过使用 atan2 函数，您可以获得顺时针角度，如下所示：

dot = x1*x2 + y1*y2  # Dot product of [x1, y1] and [x2, y2]
det = x1*y2 - y1*x2  # Determinant
angle = atan2(det, dot)  # Clockwise angle

请注意，角度的方向与坐标系对齐。对于右手系统（x 向右，y 向下），顺时针角度产生正值。反转输入的顺序会改变角度的符号。

在三维空间中，矢量可以沿着任意平面分布，旋转轴也是任意的。通常，角度被视为正值，轴的方向为正角。然后，归一化向量之间的点积可以确定角度：

dot = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2  # Dot product of [x1, y1, z1] and [x2, y2, z2]
lenSq1 = x1*x1 + y1*y1 + z1*z1  # Squared length of vector 1
lenSq2 = x2*x2 + y2*y2 + z2*z2  # Squared length of vector 2
angle = acos(dot/sqrt(lenSq1 * lenSq2))  # Clockwise angle

如果向量位于已知平面内，则可以通过将平面的法向量合并到行列式中来使用修改后的 2D 计算：

dot = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
det = n * (v1 × v2)  # Triple product
angle = atan2(det, dot)

其中 n 是单位长度法向量。

可能需要进行调整以确保角度落在范围内所需的范围（例如，[0, 360°]）。通过在负结果上加上 2π 或使用 atan2(-det, -dot) π，可以相应地调整角度。

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