MATLAB 的反斜杠运算符 (\\) 如何求解线性方程？

MATLAB 的 mldivide 运算符如何求解线性方程

MATLAB 的 mldivide 运算符，也称为反斜杠运算符“”，是一种多功能计算工具以矩阵形式表示的线性系统的解。它包含各种算法来处理不同类型的输入矩阵，以确保效率和数值稳定性。

非方矩阵的算法选择：

对于非方矩阵，反斜杠运算符采用 QR 分解来确定解。 QR 分解将矩阵 A 分解为正交向量 Q 和上三角矩阵 R。然后通过求解上三角方程组 R (Q' * b) 得到解 x。

Square 的算法选择矩阵：

对于方阵，mldivide 诊断矩阵并根据其选择适当的算法特征：

• 三角矩阵（下或上）：直接进行前向或后向替换。
• 对称正定矩阵：使用 Cholesky 分解更快、更稳定
• 一般方阵： LU 分解用于前向和后向替换的组合。

特殊情况：

• 如果A是奇异或矩形，可以使用伪逆（pinv）方法用于最小范数最小二乘解。
• 对于稀疏矩阵，MATLAB 利用迭代求解器和 UMFPACK 等外部库。
• 对于 GPU 上的计算，mldivide 利用 cuBLAS 和 MAGMA。
• 对于分布式数组，ScaLAPACK 用于求解分布式计算中的线性系统

实现 mldivide：

在自定义矩阵库中实现 mldivide 的全部功能将是一项重大工作。然而，通过了解底层算法并使用特定矩阵类型的现有库（例如，用于稠密矩阵的 LAPACK、用于稀疏矩阵的迭代求解器），可以为线性系统构建相当高效且通用的求解器。

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