如何计算两个向量之间的顺时针角度：超出点积？

计算向量之间的顺时针角度：超越经典方法

计算两个向量之间角度的经典方法依赖于点积，仅提供内角（0-180 度）。为了直接获得所需的顺时针角度，我们探索利用行列式的替代方法。

2D 向量

在 2D 域中，行列式表示与角度的正弦。因此，我们可以使用以下方法计算角度：

dot = x1*x2 + y1*y2 
det = x1*y2 - y1*x2 
angle = atan2(det, dot)

所得角度与坐标系方向对齐，顺时针旋转产生正值。交换输入向量会反转符号。

3D 向量

对于 3D 向量，旋转轴未定义，我们通常选择正角度。归一化点积提供了适当的度量：

dot = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
lenSq1 = x1*x1 + y1*y1 + z1*z1
lenSq2 = x2*x2 + y2*y2 + z2*z2
angle = acos(dot/sqrt(lenSq1 * lenSq2))

嵌入 3D 的平面

如果向量位于具有已知法向向量 n 的平面内，我们可以利用此信息来优化计算：

dot = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
det = x1*y2*zn + x2*yn*z1 + xn*y1*z2 - z1*y2*xn - z2*yn*x1 - zn*y1*x2
angle = atan2(det, dot)

范围 0 – 360°

常见 atan2 实现返回角度在 [-π, π] 弧度范围内。要获得所需范围 [0, 2π] 弧度内的角度，只需将 2π 添加到负结果即可。或者，无条件使用 atan2(-det, -dot) π。

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