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Minimized Maximum of Products Distributed to Any Store

2064。最小化分配到任何商店的产品数量

难度:中等

主题:数组、二分查找

给你一个整数n,表示有n家专卖零售店。有 m 个不同数量的产品类型,以 0 索引 整数数组数量形式给出,其中数量[i] 表示第 ith 个产品类型的产品数量。

您需要按照以下规则将所有产品分发到零售店:

  • 一家商店只能提供至多一种产品类型,但可以提供任意数量。
  • 分发后,每个商店都会获得一定数量的产品(可能是0)。令 x 代表向任何商店提供的最大产品数量。您希望 x 尽可能小,即您希望最小化向任何商店提供的最大产品数量。

返回最小可能的x

示例1:

  • 输入: n = 6,数量 = [11,6]
  • 输出: 3
  • 解释: 一种最佳方法是:
    • 类型 0 的 11 种产品分配给前四家商店,数量如下:2, 3, 3, 3
    • 类型 1 的 6 种产品按以下数量分发给其他两家商店:3, 3
    • 给予任何商店的最大产品数量为 max(2, 3, 3, 3, 3, 3) = 3.

示例2:

  • 输入: n = 7,数量 = [15,10,10]
  • 输出: 5
  • 解释: 一种最佳方法是:
    • 类型 0 的 15 种产品分配给前三家商店,数量如下:5, 5, 5
    • 类型 1 的 10 种产品按以下数量分发到接下来的两家商店:5, 5
    • 类型 2 的 10 种产品按以下数量分发到最后两家商店:5, 5
    • 给予任何商店的最大产品数量为 max(5, 5, 5, 5, 5, 5, 5) = 5。

示例 3:

  • 输入: n = 1,数量 = [100000]
  • 输出: 100000
  • 解释:唯一的最佳方法是:
    • 100000个0型产品分发到唯一的商店。
    • 给予任何商店的最大产品数量为 max(100000) = 100000。

约束:

  • m == 数量.长度
  • 1 5
  • 1 5

提示:

  1. 存在单调性,当x小于某个数时,就没有办法分配,而当x不小于该数时,总会有办法分配。
  2. 如果给你一个数字k,其中任何商店提供的产品数量不超过k,你能确定是否所有产品都可以分发吗?
  3. 实现一个函数 canDistribute(k),如果您可以分发所有产品,则返回 true,这样任何商店都不会获得超过 k 个产品,如果不能,则返回 false。使用此函数二分查找尽可能小的 k。

解决方案:

我们可以对分配给任何商店的最大可能产品数量 (x) 使用二分搜索。以下是分步说明和 PHP 解决方案:

方法

  1. 二分搜索设置:

    • 将下限(左)设置为 1(因为每个商店至少可以获得 1 个产品)。
    • 将上限(右)设置为数量数组中的最大数量(在最坏的情况下,一个商店获得一种类型的所有产品)。
    • 我们的目标是最小化 x 的值(向任何商店提供的最多产品)。
  2. 二分查找逻辑:

    • 对于每个中点 x,检查是否可以分发所有产品,使得没有商店拥有超过 x 个产品。
    • 使用辅助函数 canDistribute(x) 来确定可行性。
  3. 可行性检查(可以分发)

    • 对于每种产品类型的数量,计算分销该产品类型所需的最小商店数量,每个商店不得超过 x 个产品。
    • 对所有产品类型所需的商店进行求和。
    • 如果所需店铺总数小于或等于n,则可以以x作为每个店铺的最大负载进行分配;否则,这是不可行的。
  4. 二分查找调整:

    • 如果 canDistribute(x) 返回 true,则意味着 x 是一个可行解,但我们想要最小化 x,因此调整右边界。
    • 如果返回 false,则增加左边界,因为 x 太小。
  5. 结果

    • 二分查找完成后,left 将保存可能的最小 x。

让我们用 PHP 实现这个解决方案:2064。最小化分配到任何商店的产品数量

<?php /**
 * @param Integer $n
 * @param Integer[] $quantities
 * @return Integer
 */
function minimizedMaximum($n, $quantities) {    
    ...
    ...
    ...
    /**
     * go to ./solution.php
     */
}

/**
 * Helper function to check if we can distribute products with maximum `x` per store
 *
 * @param $x
 * @param $quantities
 * @param $n
 * @return bool
 */
function canDistribute($x, $quantities, $n) {
    ...
    ...
    ...
    /**
     * go to ./solution.php
     */
}

// Test cases
echo minimizedMaximum(6, [11, 6]); // Output: 3
echo minimizedMaximum(7, [15, 10, 10]); // Output: 5
echo minimizedMaximum(1, [100000]); // Output: 100000
?>

解释:

  1. canDistribute 函数:

    • 对于每个数量,它通过将数量除以 x 来计算所需的最小商店(使用 ceil 向上取整,因为每个商店可以获得整数个产品)。
    • 累计所需商店超过n则返回false。
  2. 对 x 进行二分查找:

    • 二分搜索迭代地减小 x 的范围,直到收敛于最小可行值。
  3. 效率

    • 此解决方案对于大输入大小(n 和 m 高达 10^5)非常有效,因为二分搜索的运行时间为 O(log(max_quantity) * m),这在给定约束内是可行的。

这种方法最大限度地减少了 x,确保产品尽可能均匀地分布在商店中。

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