素数减法运算

2601。素数减法运算

难度：中等

主题：数组、数学、二分查找、贪心、数论

给你一个0索引长度为n的整数数组nums。

您可以多次执行以下操作：

• 选择一个你之前没有选择过的索引 i，然后选择一个素数 p 严格小于 nums[i]，然后从 nums[i] 中减去 p。

如果可以使用上述操作使 nums 成为严格递增的数组，则返回 true，否则返回 false.

严格递增数组 是一个数组，其每个元素都严格大于其前一个元素。

示例1：

• 输入： nums = [4,9,6,10]
• 输出： true
• 解释： 第一个操作：选取 i = 0 和 p = 3，然后将 nums[0] 减去 3，使 nums 变为 [1,9,6,10]。
  • 第二个操作：i = 1，p = 7，nums[1]减去7，所以nums等于[1,2,6,10]。
  • 第二次运算后，nums 按照严格升序排序，所以答案为 true。

示例2：

• 输入： nums = [6,8,11,12]
• 输出： true
• 说明： 最初 nums 是严格按照递增顺序排序的，所以我们不需要进行任何操作。

示例 3：

• 输入： nums = [5,8,3]
• 输出： false
• 解释：可以证明，没有办法进行操作使nums严格按升序排序，所以答案是错误的。

约束：

• 1
• 1
• nums.length == n

提示：

1. 考虑一下我们是否有很多素数需要从 nums[i] 中减去。哪个素数更优化？
2. 从 nums[i] 中减去的最佳素数是使 nums[i] 尽可能最小且大于 nums[i-1] 的素数。

解决方案：

我们需要分解算法并使其适应 PHP 语法和功能。解决方案主要包括以下步骤：

1. 生成素数（埃拉托斯特尼筛法）：生成所有素数的列表，最大可能值是 nums (1000)。
2. 素数减法操作：对于nums中的每个数字，检查是否可以减去一个素数以使数组严格递增。
3. 二分查找素数：使用二分查找查找小于当前数字的最大素数，并且仍保持序列严格递增。

让我们用 PHP 实现这个解决方案：2601。素数减法运算

<?php
class Solution {

    /**
     * @param Integer[] $nums
     * @return Boolean
     */
    function primeSubOperation($nums) {
       ...
       ...
       ...
       /**
        * go to ./solution.php
        */
    }

    /**
     * Helper function to generate all primes up to n using Sieve of Eratosthenes
     *
     * @param $n
     * @return array
     */
    private function sieveEratosthenes($n) {
       ...
       ...
       ...
       /**
        * go to ./solution.php
        */
    }

    /**
     * Helper function to find the largest prime less than a given limit using binary search
     *
     * @param $primes
     * @param $limit
     * @return mixed|null
     */
    private function findLargestPrimeLessThan($primes, $limit) {
       ...
       ...
       ...
       /**
        * go to ./solution.php
        */
    }
}

// Example usage:
$solution = new Solution();
echo $solution->primeSubOperation([4, 9, 6, 10]) ? 'true' : 'false';  // Output: true
echo $solution->primeSubOperation([6, 8, 11, 12]) ? 'true' : 'false'; // Output: true
echo $solution->primeSubOperation([5, 8, 3]) ? 'true' : 'false';      // Output: false
?>

解释：

1. primeSubOperation：循环遍历 nums 中的每个元素，并检查是否可以通过减去适当的素数来使每个元素大于前一个元素。

   • 我们使用 $this->findLargestPrimeLessThan 来查找小于 num - prevNum 的最大素数。
   • 如果存在这样的素数，我们从当前的 num 中减去它。
   • 如果减去素数后，当前 num 不大于 prevNum，我们返回 false。
   • 否则，我们将 prevNum 更新为当前 num。

2. sieveEratosthenes：使用埃拉托斯特尼筛法生成 1000 以内的所有素数，并将它们作为数组返回。

3. findLargestPrimeLessThan：使用二分搜索查找小于给定限制的最大素数，确保我们找到用于减法的最佳素数。

复杂性分析

• 时间复杂度：O(n . √m)，其中n是nums和m的长度是 nums 中元素的最大值（此处 m = 1000）。
• 空间复杂度：O(m)，用于存储最多1000个素数列表。

该解决方案将根据是否可以通过执行所描述的素数减法操作使 nums 严格增加来返回 true 或 false。

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