二重積分錶示在二維區域上計算函數值和的積分,其計算方法為:分解積分:將二重積分分解為兩個一重積分;求一重積分:對內側積分進行積分;求外側積分:將求得的一元函數帶入外側積分進行積分。
二重積分的計算方法
定義:
二重積分是計算二維區域上函數值和的積分,公式為:
$$\iint\limits_D f(x, y) dA$$
其中:
#計算方法:
1.分解積分:
將二重積分分解成兩個一重積分的積分:
$$\iint\limits_D f(x, y) dA = \int\limits_a^b \int\limits_{g(x )}^{h(x)} f(x, y) dy dx$$
或
$$\iint\limits_D f(x, y) dA = \int\limits_c^d \int\limits_ {p(y)}^{q(y)} f(x, y) dx dy$$
#2. 求一重積分:
對內側積分求值,得到一元函數關於一個變數的積分:
$$\int\limits_{g(x)}^{h(x)} f(x, y) dy \quad \text{或} \quad \int\ limits_{p(y)}^{q(y)} f(x, y) dx$$
#3. 求外側積分:
將求得的一元函數帶入外側積分求值:
$$\int\limits_a^b \left( \int\limits_{g(x)}^{h(x)} f(x, y) dy \right) dx \ quad \text{或} \quad \int\limits_c^d \left( \int\limits_{p(y)}^{q(y)} f(x, y) dx \right) dy$$
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