物理資訊驅動的神經網路介紹

基於物理資訊的神經網路（PINN）是一種結合實體模型和神經網路的方法。透過將物理方法融入神經網路中，PINN可以學習非線性系統的動力學行為。相較於傳統的基於實體模型的方法，PINN具有更高的靈活性和可擴展性。它可以自適應地學習複雜的非線性動力學系統，並同時滿足物理規範的要求。本文將介紹PINN的基本原理，並提供一些實際應用範例。

PINN的基礎是將物理方法融入神經網絡，以學習系統的動力學行為。具體來說，我們可以將物理方法表示為以下形式：

F(u(x),\frac{\partial u}{\partial x},x,t) =0

我們的目標是透過學習系統狀態變化u(x)的時間演化以及系統週邊的邊界條件，來實現對系統行為的理解。為了達到這個目標，我們可以利用神經網路模擬狀態變化u(x)的發展，並使用自動微分技術計算狀態變化的梯度。同時，我們也可以使用物理方法來約束神經網路與狀態變化之間的關係。這樣，我們就能夠更好地理解系統的狀態演化和預測未來的變化。

具體而言，我們可以使用如下的損失函數來訓練PINN：

L_{pinn}=L_{資料} L_{物理}

其中L_{data}是資料遺失，用來模擬已經知道的狀態變化值。通常，我們可以使用均方誤差來確定義L_{data}：

L_{data}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{ N}(u_i-u_{data,i})^2

其中$N$是資料集中的樣本數，u_i是神經網路預測的狀態變化值，u_{data ,i}是資料集中對應的真實狀態變化值。

L_{physics}是物理約束損失，使用於保證神經網路和狀態變化滿足物理方法。通常，我們可以使用殘差數來確定義L_{物理}：

L_{物理}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{ N}(F(u_i,\frac{\partial u_i}{\partial x},x_i,t_i))^2

其中F是物理方法，\frac{\partial u_i}{\partial x}是神經網路預測的狀態變化量的坡度，x_i和t_i是類似本i的空間和時間座標。

透過最小化L_{pinn}，我們可以同時模擬資料和滿足物理方法，從而學習系統的動力學行為。

現在我們來看一些現實的PINN的示範。其中一個典型的例子是學習Navier-Stokes方法的動力學行為。 Navier-Stokes方法描述了流體的運動行為，它可以寫成如下的形式：

#\rho(\frac{\partial u}{\partial t} u\cdot\nabla u)=-\nabla p \mu\nabla^2u f

其中\rho是流體的密度，u是流體的速度，p是流體的壓力，\mu是流體的密度，f是外部力。我們的目標是學習流體的速度和壓力的時間演化，以及在流體邊界上的邊界條件。

為了實現這個目標，我們可以將Navier-Stokes方法填入神經網路中，以方便學習速度和壓力的時間演化。具體而言，我們可以使用以下的損失敗數來訓練PINN：

L_{pinn}=L_{資料} L_{物理}

##其中L_{data}和L_{physics}的定義與前文相同。我們可以使用流體力學模型產生一組包含速度和壓力的狀態變數數據，然後使用PINN來模擬狀態變化並滿足Navier-Stokes方法。這樣，我們就可以以學習流動體的動力學行為，包括濕流、渦旋和邊界層等現象，而無需先確定正義複雜的物理模型或手動推導解析。

另一個例子是學習非線性波運動方法的運動學行為。非線性波運動方法描述了波運動在介紹中的傳播行為，它可以寫成如下的形式：

#\frac{\partial^2u}{\partial t^2} -c^2\nabla^2u f(u)=0

其中u是波速的幅度，c是波速，f(u)是非線性質的項目。我們的目標是學習波動態的時間演化和在介紹邊界上的邊界條件。

為了實現這個目標，我們可以將非線性波過程納入神經網路中，以方便學習波運動的時代演化。具體而言，我們可以使用如下的損毀數來訓練PINN：

L_{pinn}=L_{資料} L_{物理}

其中L_{data}和L_{physics}的定義與前文相同。我們可以使用數值方法產生一組包含波幅和台階的狀態變化數據，然後用PINN來模擬狀態變化量和滿足非線性波動方法。這樣，我們就可以學習波動在介質中的時間演化，包括波包的形狀變化、折射和反射等現象，而無需先定義複雜的物理模型或手動推導解析。

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總之，基於物理資訊的神經網路是一種結合物理模型和神經網路的方法，它可以適應地球學習複雜的非線動力學系統，同時保持對物理規律的嚴格滿足。 PINN已被廣泛應用於流體力學、聲學、結構力學等領域，並取得了一些顯著的結果。未來，隨著神經網路和自動化微分技術的不發展，PINN將有希望成為更大更強更通用的工具，用於解決各種非線性動力學問題。

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