詳解一道關於反三角函數的定積分題

一道反三角函數的定積分題目麻煩詳細過程

∫ （arcsinx）² dx

= x(arcsinx)² - ∫ x d(arcsinx)²

= x(arcsinx)² - ∫ x • 2(arcsinx) • 1/√（1 - x²） • dx

= x(arcsinx)² - 2∫ x(arcsinx)/√（1 - x²） dx

= x(arcsinx)² - 2∫ arcsinx d[-√（1 - x²）]

= x(arcsinx)² 2(arcsinx)√（1 - x²） - 2∫ √（1 - x²） d(arcsinx)

= x(arcsinx)² 2(arcsinx)√（1 - x²） - 2∫ √（1 - x²）/√（1 - x²） dx

= x(arcsinx)² 2(arcsinx)√（1 - x²） - 2x C

這是不定積分

定積分就代入就有了

反三角函數的原始函數

用分部積分法得：

I = ∫ arcsinx dx = x arcsinx - ∫ [x/√（1-x^2）] dx

= x arcsinx (1/2) ∫ [1/√（1-x^2）] d(1-x^2) = x arcsinx √(1-x^2) C

I = ∫ arccosx dx = x arccosx ∫ [x/√（1-x^2）] dx

= x arccosx - (1/2) ∫ [1/√（1-x^2）] d(1-x^2) = x arccosx - √（1-x^2） C

I = ∫ arctanx dx = x arctanx - ∫ [x/(1 x^2)] dx

= x arctanx - (1/2) ∫ [1/(1 x^2)] d(1 x^2) = x arctanx - (1/2)ln(1 x^2) C

它是反正弦arcsin x，反餘弦arccos x，反正切arctan x，反餘切arccot x，反正割arcsec x，反餘割arccsc x這些函數的統稱，各自表示其反正弦、反餘弦、反正切、反餘切，反正割，反餘割為x的角。

擴充資料：

函數在這個區間最好是連續的（這裡之所以說最好，是因為反正割和反餘割函數是尖端的）；為了使研究方便，常要所選擇的區間包含0到π/ 2的角。

所確定的區間上的函數值域應與整函數的定義域相同。這樣確定的反三角函數就是單值的，為了與上面多值的反三角函數相區別，在記法上常將Arc中的A改記為a，例如單值的反正弦函數記為arcsin x。

為限制反三角函數為單值函數，將反正弦函數的值y限在-π/2≤y≤π/2，y為反正弦函數的主值，記為y=arcsin x；相應地，反餘弦函數y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函數y=arctan x的主值限在-π/2

參考資料來源：百科全書—反三角函數

反三角函數的不定積分如何證明

.積分區間對稱的先看式中有沒有奇函數，例如這題平方展開為：1 2x(1-x^2)^1/2，注意到2x(1-x^2)^ 1/2是奇函數，所以它在對稱區間的積分為0，只剩下＂1＂，所以結果為2

2.出現arctan,ln之類的一定要想辦法對其做導數，x*arctanx，要想對arctanx做導，就必須用分部積分：

把x放到後面，原積分式化為：1/2arctanx d(x^2)，分部積分後半部的積分式為（x^2）/(1 x^2)，這個應該會積了吧，關鍵是要知道對arctan導

此題結果為：1/2(x^2*arctanx - x arctanx C)

這邊只要多做題思路就通了，真正難的在後面的多重積分和曲面曲線積分，可以說是變態級的

分部積分公式推導

分部積分公式是非常重要的一個公式，有了它能在某些積分題目中利用公式快速的解出答案。同時也能在某些被積函數不能直接找到原函數的情況下解出答案。

#擴充資料：

1.分部積分法是微積分學中的一類重要的、基本的計算積分的方法。

2.它是由微分的乘法法則和微積分基本定理推導而來的。它的主要原理是將不易直接結果的積分形式，轉化為等價的易出結果的積分形式的。

3.常用的分部積分的根據組成被積函數的基本函數類型，將分部積分的順序整理為口訣：「反對冪指三」。分別代指五類基本函數：反三角函數、對數函數、冪函數、指數函數、三角函數的積分。

4.不定積分的公式（1）、∫ a dx = ax C,a和C都是常數

(2)、∫ x^a dx = [x^(a 1)]/(a 1) C，其中a為常數且 a ≠ -1

(3)、∫ 1/x dx = ln|x|

(4)、∫ a^x dx = (1/lna)a^x C，其中a > 0 且 a ≠

(5)、∫ e^x dx = e^x C

#(6)、∫ cosx dx = sinx

(7)、∫ sinx dx = - cosx C

(8)、∫ cotx dx = ln|sinx| C = - ln|cscx| C

5.不定積分的方法：

第一類換元其實就是一種拼湊，利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是關於f(x)的函數，再把f(x)看為一個整體，出最終的結果。

分部積分，就那固定的幾種類型，無非就是三角函數乘上x，或者指數函數、對數函數乘上一個x這類的，記憶方法是把其中一部分利用上面提到的f '(x)dx=df(x)變形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f(x)dx這樣的公式，當然x可以換成其他g(x)。

參考資料：百科全書：分部積分法

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