使用函數分析方法

函數解析式的法

①拼湊發：對於形如f[g(x)]的函數解析式，將g(x)看成整體，將表達式是右邊拼湊出g(x)的形式，再把g(x)替換成x，就ok，例如：

f(2x 1)=4x^2 2x 1，f(x):

右邊=（2x 1）^2-(2x 1) 1

∴f(x)=x^2-x 1

②換元法：對於形如f[g(x)]的函數解析式，令t=g(x),x就可以用t來表示，而且要注意定義域相等，出f(t )就ok，例如：

f[(1-x)/(1 x)]=[(1-x^2)/(1 x^2)]，f(x):

令t=(1-x)/(1 x)

則：x=(1-t)/(1 t)（注意：t≠-1）

∴代入得：

f(t)=2t/(t^2 1) (t≠-1)

即：f(x)=2x/(x^2 1) (x≠-1)

③構造法：利用已給定的關係式，可改變關係式中的變量，得到一個新的關係式，透過解方程組，出函數f(x)的解析式，例如：

設f(x)是定義域在（0，﹢無窮）上的一個函數，且有f(x)=2f(1/x)√x-1（√為根號）f(x) ：（目標是消去f(1/x))

令x=1/x，得：

f(1/x)=2f(x)√（1/x）-1

將其代入原方程式得：

f(x)=2[2f(x)√（1/x）-1]√x-1=4f(x)-2√x-1

∴f(x)=(2√x)/3 1/3

還有待定係數法，你還要我說嗎？好累~~~~~

函數解析式

一.換元法：已知f(g(x)），f(x)的解析式，一般的可用換元法，具體為：令t=g(x)，在出f(t )可得f(x)的解析式。換元後要確定新元t的值範圍。

例題1.已知f(3x 1)=4x 3， f(x)的解析式.

練習1.若 ， .

二.配湊法：把形如f(g(x)）內的g(x)當做整體，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式，再把g(x)用x代替。一般的利用完全平方公式。

例題2.已知 ， 的解析式.

練習2.若 ， .

三.待定係數法：已知函數模型（如：一次函數，二次函數，指數函數等）解析式，先設出函數解析式，依已知條件代入係數

例題3.設 為一元二次函數， ，且 ，

與 .

練習3.設二次函數 滿足 ，且圖像在y軸上截距為1，在x軸上截得的線段長為 ， 的表達式.

四.解方程組法：抽象函數的解析式，往往透過變換變數建構一個方程，組成方程組，利用消元法f(x)的解析式

例題4.設函數 是定義（-∞，0）∪（0， ∞）在上的函數，且滿足關係式 ， 的解析式.

練習4.若 ， .

五.利用給定的特性解析式：一般為已知x>0時， f(x)的解析式，x

例題5設 是偶函數，當x>0時， ，當x

練習6.對x∈R， 滿足 ，且當x∈[-1,0]時，當x∈[9,10] 時 的表達式.

六.歸納遞推法：利用已知的遞推公式，寫出若干幾項，利用數列的思想從中找出規律，得到f(x)的解析式。 （通項公式）

例題6.設 是定義在 上的函數，且 ， ， 的解析式.

有時證明需要用數學歸納發去證明結論。

練習5.若 ，且 ，

值 .

題7.設 ，記 ， .

七.相關點法：一般的，設出兩個點，一點已知，一點未知，根據已知找到兩點之間的聯繫，把已知點用未知點表示，最後代入已知點的解析式整理出即可。 （軌跡法）

例題7：已知函數y=f(x)的圖像與y=x2 x的圖像關於點（-2,3）對稱，f(x)的解析式。

練習8.已知函數，當點P(x,y)在y= 的圖像上運動時，點Q（ )在y=g(x)的圖像上，函數g(x).

八.特殊值法：一般的，已知一個關於x,y的抽象函數，利用特殊值去掉一個未知數y，得到關於x的解析式。

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